湖南省株洲市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 若 $a$ 的倒数为2，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、－2

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2. 方程 $\frac{x}{2} - 1 = 2$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 3$ C、 $x = 5$ D、 $x = 6$

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3. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上，若 $∠ D C E = 132 °$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $38 °$ B、 $48 °$ C、 $58 °$ D、 $66 °$

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4. 某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（）

A、1日—10日，甲的步数逐天增加 B、1日—6日，乙的步数逐天减少 C、第9日，甲、乙两人的步数正好相等 D、第11日，甲的步数不一定比乙的步数多

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5. 计算： $- 4 \times \sqrt{\frac{1}{2}} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、－2 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”.问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（）

A、1.8升 B、16升 C、18升 D、50升

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 \\ - x + 1 > 0 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x < 1$ B、 $x \leq 2$ C、 $1 < x \leq 2$ D、无解

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8. 如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 内，以 $A B$ 为边作正五边形 $A B G H I$ ，则 $∠ F A I =$ （）

A、 $10 °$ B、 $12 °$ C、 $14 °$ D、 $15 °$

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，点 $P$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且 $O P = 1$ ，设 $M = a c (a + b + c)$ ，则 $M$ 的取值范围为（）

A、 $M < - 1$ B、 $- 1 < M < 0$ C、 $M < 0$ D、 $M > 0$

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10. 某限高曲臂道路闸口如图所示， $A B$ 垂直地面 $l_{1}$ 于点 $A$ ， $B E$ 与水平线 $l_{2}$ 的夹角为 $α (0 ° \leq α \leq 90 °)$ ， $E F / / l_{1} / / l_{2}$ ，若 $A B = 1.4$ 米， $B E = 2$ 米，车辆的高度为 $h$ （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当 $α = 90 °$ 时， $h$ 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当 $α = 45 °$ 时， $h$ 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当 $α = 60 °$ 时， $h$ 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 计算： $2 a^{2} \cdot a^{3} =$ .

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12. 因式分解： $6 x^{2} - 4 x y =$ .

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13. 据报道，2021年全国高考报名人数为1078万.将1078万用科学记数法表示为 $1.078 \times 10^{n}$ ，则 $n =$ .

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14. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是.

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15. 如图所示，线段 $B C$ 为等腰 $△ A B C$ 的底边，矩形 $A D B E$ 的对角线 $A B$ 与 $D E$ 交于点 $O$ ，若 $O D = 2$ ，则 $A C =$ .

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16. 中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：

中药	黄芪	焦山楂	当归
销售单价（单位：元/千克）	80	60	90
销售额（单位：元）	120	120	360

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为千克.

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17. 点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{1} + 1 ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的两点，满足：当 $x_{1} > 0$ 时，均有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $k$ 的取值范围是.

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18. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）.图②为某蝶几设计图，其中 $△ A B D$ 和 $△ C B D$ 为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点 $P$ 处，点 $P$ 与点 $A$ 关于直线 $D Q$ 对称，连接 $C P$ 、 $D P$ .若 $∠ A D Q = 24 °$ ，则 $∠ D C P =$ 度.

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三、解答题

19. 计算： $| - 2 | + \sqrt{3} \sin 60 ° - 2^{- 1}$ .

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20. 先化简，再求值： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} \cdot (1 - \frac{2}{x}) - \frac{3}{x + 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 2$ .

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21. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，点 $F$ 在线段 $A B$ 的延长线上，连接 $E F$ 交线段 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $B D$ ，若 $D E = B F = 2$ .

(1)、求证：四边形 $B F E D$ 是平行四边形；

(2)、若 $\tan ∠ A B D = \frac{2}{3}$ ，求线段 $B G$ 的长度.

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22. 将一物体（视为边长为 $\frac{2}{π}$ 米的正方形 $A B C D$ ）从地面 $P Q$ 上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点 $B$ 与斜面 $E F$ 上的点 $E$ 重合，先将该物体绕点 $B (E)$ 按逆时针方向旋转至正方形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 的位置，再将其沿 $E F$ 方向平移至正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的位置（此时点 $B_{2}$ 与点 $G$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $M G$ 上.已知 $M G / / P Q$ ， $∠ F B P = 30 °$ ，过点 $F$ 作 $F H ⊥ M G$ 于点 $H$ ， $F H = \frac{1}{3}$ 米， $E F = 4$ 米.

(1)、求线段 $F G$ 的长度；

(2)、求在此过程中点 $A$ 运动至点 $A_{2}$ 所经过的路程.

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23. 目前，国际上常用身体质量指数“

B M I

”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：

B M I = \frac{G}{h^{2}}

（

G

表示体重，单位：千克；

h

表示身高，单位：米）.已知某区域成人的

B M I

数值标准为：

B M I < 16

为瘦弱（不健康）：

16 \leq B M I \leq 18.5

为偏瘦；

18.5 \leq B M I < 24

为正常；

24 \leq B M I < 28

为偏胖；

B M I \geq 28

为肥胖（不健康）.某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的

B M I

数值后统计如下：

身体属性	人数
瘦弱	2
偏瘦	2
正常	11
偏胖	9
肥胖	$m$

（男性身体属性与人数统计表）

(1)、求这个样本中身体属性为“正常”的人数；

(2)、某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的

B M I

数值；

(3)、当

m \geq 3

且

n \geq 2

（

m

、

n

为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值.

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24. 如图所示，在平面直角坐标系 $O x y$ 中，一次函数 $y = 2 x$ 的图象 $l$ 与函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象（记为 $Γ$ ）交于点A，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，且 $A B = 1$ ，点 $C$ 在线段 $O B$ 上（不含端点），且 $O C = t$ ，过点 $C$ 作直线 $l_{1} / / x$ 轴，交 $l$ 于点 $D$ ，交图象 $Γ$ 于点 $E$ .

(1)、求 $k$ 的值，并且用含 $t$ 的式子表示点 $D$ 的横坐标；

(2)、连接 $O E$ 、 $B E$ 、 $A E$ ，记 $△ O B E$ 、 $△ A D E$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，设 $U = S_{1} - S_{2}$ ，求 $U$ 的最大值.

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25. 如图所示， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上不同的两点，直线 $B D$ 交线段 $O C$ 于点 $E$ ，交过点 $C$ 的直线 $C F$ 于点 $F$ ，若 $O C = 3 C E$ ，且 $9 (E F^{2} - C F^{2}) = O C^{2}$ .

(1)、求证：直线 $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $O D$ 、 $A D$ 、 $A C$ 、 $D C$ ，若 $∠ C O D = 2 ∠ B O C$ .
①求证： $△ A C D ∽ △ O B E$ ；

②过点 $E$ 作 $E G / / A B$ ，交线段 $A C$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $A C$ 的中点，若 $A D = 4$ ，求线段 $M G$ 的长度.

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26. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = c = - 2$ ，求方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的判别式的值；

(2)、如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，连接 $A C$ 、 $B D$ ，满足 $∠ A C O = ∠ A B D$ ， $- \frac{b}{a} + c = x_{1}$ .
①求证： $△ A O C ≅ △ D O B$ ；

②连接 $B C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，点 $F (0 ， x_{1} - x_{2})$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $A F$ ，且 $∠ A C O = ∠ C A F + ∠ C B D$ ，求 $\frac{c}{x_{1}}$ 的值.

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