湖北省武汉市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 3的相反数是（）

A、 3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下列事件中是必然事件的是（）

A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C、打开电视机，正在播放广告 D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

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3. 下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算 ${(- a^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、 $- a^{6}$ B、 $a^{6}$ C、 $- a^{5}$ D、 $a^{5}$

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5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 $x$ 人，物价是 $y$ 钱，则下列方程正确的是（）

A、 $8 (x - 3) = 7 (x + 4)$ B、 $8 x + 3 = 7 x - 4$ C、 $\frac{y - 3}{8} = \frac{y + 4}{7}$ D、 $\frac{y + 3}{8} = \frac{y - 4}{7}$

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8. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 $y$ （单位： $km$ ）与慢车行驶时间 $t$ （单位： $h$ ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）

A、 $\frac{5}{3} h$ B、 $\frac{3}{2} h$ C、 $\frac{7}{5} h$ D、 $\frac{4}{3} h$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦，先将 $\overset{⌢}{B C}$ 沿 $B C$ 翻折交 $A B$ 于点 $D$ .再将 $\overset{⌢}{B D}$ 沿 $A B$ 翻折交 $B C$ 于点 $E$ .若 $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{D E}$ ，设 $∠ A B C = α$ ，则 $α$ 所在的范围是（）

A、 $21.9 ° < α < 22.3 °$ B、 $22.3 ° < α < 22.7 °$ C、 $22.7 ° < α < 23.1 °$ D、 $23.1 ° < α < 23.5 °$

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10. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根，则代数式 $2 a^{3} - 6 a^{2} + b^{2} + 7 b + 1$ 的值是（）

A、-25 B、-24 C、35 D、36

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二、填空题

11. 计算 $\sqrt{{(- 5)}^{2}}$ 的结果是

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12. 我国是一个人口资源大国，第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是.

城市

北京

上海

广州

重庆

成都

常住人口数/万

2 189

2 487

1 868

3 205

2 094

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13. 已知点 $A (a ， y_{1})$ ， $B (a + 1 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{m^{2} + 1}{x}$ （ $m$ 是常数）的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 如图，海中有一个小岛 $A$ ，一艘轮船由西向东航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上；航行 $12 n mile$ 到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上.小岛 $A$ 到航线 $B C$ 的距离是 $n mile$ （ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果用四舍五入法精确到0.1）.

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15. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）， $a + b + c = 0$ ，下列四个结论：
①若抛物线经过点 $(- 3 ， 0)$ ，则 $b = 2 a$ ；

②若 $b = c$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 一定有根 $x = - 2$ ；

③抛物线与 $x$ 轴一定有两个不同的公共点；

④点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上，若 $0 < a < c$ ，则当 $x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $y_{1} > y_{2}$ .

其中正确的是（填写序号）.

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16. 如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，边 $A B$ 上的点 $D$ 从顶点 $A$ 出发，向顶点 $B$ 运动，同时，边 $B C$ 上的点 $E$ 从顶点 $B$ 出发，向顶点 $C$ 运动， $D$ ， $E$ 两点运动速度的大小相等，设 $x = A D$ ， $y = A E + C D$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图（2），图象过点 $(0 ， 2)$ ，则图象最低点的横坐标是.

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \geq x - 1 ① \\ 4 x + 10 > x + 1 ② \end{array}$ 请按下列步骤完成解答.

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)、原不等式组的解集是.

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18. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ B = ∠ D$ ，直线 $E F$ 与 $A D$ ， $B C$ 的延长线分别交于点 $E$ ， $F$ .求证： $∠ D E F = ∠ F$ .

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19. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 $t$ （单位： $h$ ），按劳动时间分为四组： $A$ 组“ $t < 5$ ”， $B$ 组“ $5 \leq t < 7$ ”， $C$ 组“ $7 \leq t < 9$ ”， $D$ 组“ $t \geq 9$ ”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次抽样调查的样本容量是， $C$ 组所在扇形的圆心角的大小是；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于 $7 h$ 的学生人数.

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20. 如图是由小正方形组成的 $5 \times 7$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 $A B C D$ 的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)、在图（1）中，先在边 $A B$ 上画点 $E$ ，使 $A E = 2 B E$ ，再过点 $E$ 画直线 $E F$ ，使 $E F$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积；

(2)、在图（2）中，先画 $△ B C D$ 的高 $C G$ ，再在边 $A B$ 上画点 $H$ ，使 $B H = D H$ .

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，过点 $C$ 作 $A D$ 的垂线，垂足是 $E$ .连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\frac{D C}{D F} = \sqrt{6}$ ，求 $\cos ∠ A B D$ 的值.

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22. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A$ ， $B$ 两种农作物为原料开发了一种有机产品， $A$ 原料的单价是 $B$ 原料单价的1.5倍，若用900元收购 $A$ 原料会比用900元收购 $B$ 原料少 $100 kg$ .生产该产品每盒需要 $A$ 原料 $2 kg$ 和 $B$ 原料 $4 kg$ ，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.

(1)、求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；

(2)、设每盒产品的售价是 $x$ 元（ $x$ 是整数），每天的利润是 $w$ 元，求 $w$ 关于 $x$ 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

(3)、若每盒产品的售价不超过 $a$ 元（ $a$ 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.

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23. 问题提出如图（1），在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $B C = A C$ ， $E C = D C$ ，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内部，直线 $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，线段 $A F$ ， $B F$ ， $C F$ 之间存在怎样的数量关系？

(1)、问题探究：先将问题特殊化.如图（2），当点 $D$ ， $F$ 重合时，直接写出一个等式，表示 $A F$ ， $B F$ ， $C F$ 之间的数量关系；

(2)、再探究一般情形.如图（1），当点 $D$ ， $F$ 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

(3)、问题拓展如图（3），在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $B C = k A C$ ， $E C = k D C$ （ $k$ 是常数），点 $E$ 在 $△ A B C$ 内部，直线 $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，直接写出一个等式，表示线段 $A F$ ， $B F$ ， $C F$ 之间的数量关系.

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24. 抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）.

(1)、 $▱ A C D E$ 的顶点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，顶点 $E$ 在 $y$ 轴右侧的抛物线上.
①如图（1），若点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 3)$ ，点 $E$ 的横坐标是 $\frac{3}{2}$ ，直接写出点 $A$ ， $D$ 的坐标；

②如图（2），若点 $D$ 在抛物线上，且 $▱ A C D E$ 的面积是12，求点 $E$ 的坐标；

(2)、如图（3）， $F$ 是原点 $O$ 关于抛物线顶点的对称点，不平行 $y$ 轴的直线 $l$ 分别交线段 $A F$ ， $B F$ （不含端点）于 $G$ ， $H$ 两点，若直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，求证 $F G + F H$ 的值是定值.

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城市	北京	上海	广州	重庆	成都
常住人口数/万	2 189	2 487	1 868	3 205	2 094