湖北省黄冈市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -3的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、-3

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2. 2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为（）

A、 $47 \times 10^{7}$ B、 $4.7 \times 10^{7}$ C、 $4.7 \times 10^{8}$ D、 $0.47 \times 10^{9}$

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3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、正六边形 C、正方形 D、圆

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ B、 $a^{3} \div a^{2} = a$ C、 $3 a^{3} \cdot 2 a^{2} = 6 a^{6}$ D、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$

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5. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”.阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快.英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A.科普，B.文学，C.体育，D.其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（）

A、样本容量为400 B、类型D所对应的扇形的圆心角为 $36 °$ C、类型C所占百分比为 $30 %$ D、类型B的人数为120人

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7. 如图， $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的外接圆， $O E ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点E，垂足为点D， $A E$ ， $C B$ 的延长线交于点F.若 $O D = 3$ ， $A B = 8$ ，则 $F C$ 的长是（）

A、10 B、8 C、6 D、4

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8. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，已知 $A D = 3$ ， $C D = 4$ .点P沿折线 $C - A - D$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，则 $△ C P E$ 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 式子 $\sqrt{a + 2}$ 在实数范围内有意义，则a的取值范围是.

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10. 正五边形的一个内角是度。

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11. 东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，89，91，85，92，90.则这组数据的中位数为.

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12. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可以是.（写出一个即可）

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13. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点D.则 $C D$ 与 $B D$ 的数量关系是.

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14. 如图，建筑物 $B C$ 上有一高为 $8 m$ 的旗杆 $A B$ ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 $53 °$ ，观测旗杆底部B的仰角为 $45 °$ ，则建筑物 $B C$ 的高约为 $m$ （结果保留小数点后一位）.（参考数据 $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ）

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15. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 $0.618$ 法就应用了黄金分割数.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，则 $a b = 1$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{10} = \frac{1}{1 + a^{10}} + \frac{1}{1 + b^{10}}$ .则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{10} =$ .

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ，连接 $A C$ ， $∠ A C D$ 的平分线交 $A D$ 于点E，在 $A B$ 上截取 $A F = D E$ ，连接 $D F$ ，分别交 $C E$ ， $A C$ 于点G，H，点P是线段 $G C$ 上的动点， $P Q ⊥ A C$ 于点Q，连接 $P H$ .下列结论：① $C E ⊥ D F$ ；② $D E + D C = A C$ ；③ $E A = \sqrt{3} A H$ ；④ $P H + P Q$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 计算： $| 1 - \sqrt{3} | - 2 \sin 60 ° + {(π - 1)}^{0}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B C E = ∠ A C D$ .

(1)、求证： $△ A B C \sim △ D E C$ ；

(2)、若 $S_{△ A B C} ： S_{△ D E C} = 4 ： 9$ ， $B C = 6$ ，求 $E C$ 的长.

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19. 2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科.第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科.

(1)、黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是；

(2)、用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率.

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20. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上的图象与一次函数 $y = m x + n$ 的图象相交于 $A (a ， - 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ 两点.

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、设直线 $A B$ 交y轴于点C，点 $N (t ， 0)$ 是正半轴上的一个动点，过点N作 $N M ⊥ x$ 轴交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点M，连接 $C N$ ， $O M$ .若 $S_{四边形 C O M N} > 3$ ，求t的取值范围.

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21. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与 $B C$ ， $A C$ 分别相切于点E，F， $B O$ 平分 $∠ A B C$ ，连接 $O A$ .

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = A C = 3$ ， $⊙ O$ 的半径是1，求图中阴影部分的面积.

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22. 2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师.
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：

甲种客车

乙种客车

载客量/（人/辆）

40

55

租金（元/辆）

500

600

(1)、共需租辆大客车；

(2)、最多可以租用多少辆甲种型号大客车？

(3)、有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？

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23. 红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 $0.1$ 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

(1)、直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

(3)、为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，点 $N (n ， 0)$ 是x轴上的动点.
　　　

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若 $n < 3$ ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 $B C$ 于点G.过点P作 $P D ⊥ B C$ 于点D，当n为何值时， $△ P D G ≌ △ B N G$ ；

(3)、如图2，将直线 $B C$ 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 $O C$ 的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，得到直线 $O B_{1}$ .
① $\tan ∠ B O B_{1} =$ ▲ ；

②当点N关于直线 $O B_{1}$ 的对称点 $N_{1}$ 落在抛物线上时，求点N的坐标.

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	甲种客车	乙种客车
载客量/（人/辆）	40	55
租金（元/辆）	500	600