四川省南充市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 满足 $x ⩽ 3$ 的最大整数 $x$ 是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 数轴上表示数 $m$ 和 $m + 2$ 的点到原点的距离相等，则 $m$ 为（）

A、-2 B、2 C、1 D、-1

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3. 如图，点O是 $▱ A B C D$ 对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是（）

A、 $O E = O F$ B、 $A E = B F$ C、 $∠ D O C = ∠ O C D$ D、 $∠ C F E = ∠ D E F$

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4. 据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（）

A、该组数据的中位数是6 B、该组数据的众数是6 C、该组数据的平均数是6 D、该组数据的方差是6

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5. 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）

A、 $10 x + 5 (x - 1) = 70$ B、 $10 x + 5 (x + 1) = 70$ C、 $10 (x - 1) + 5 x = 70$ D、 $10 (x + 1) + 5 x = 70$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{3 b}{4 a} \cdot \frac{2 a}{9 b^{2}} = \frac{b}{6}$ B、 $\frac{1}{3 a b} \div \frac{2 b^{2}}{3 a} = \frac{b^{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{3 a}$ D、 $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} = \frac{2}{a^{2} - 1}$

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7. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E， $C D = 2 O E$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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8. 如图，在菱形ABCD中， $∠ A = 60 °$ ，点E，F分別在边AB，BC上， $A E = B F = 2$ ， $△ D E F$ 的周长为 $3 \sqrt{6}$ ，则AD的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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9. 已知方程 $x^{2} - 2021 x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{2021}{x_{2}}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2021 D、-2021

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10. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 15$ ， $B C = 20$ ，把边AB沿对角线BD平移，点 $A'$ ， $B'$ 分别对应点A，B.给出下列结论：①顺次连接点 $A'$ ， $B'$ ，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线 $A A'$ 的对称点的距离为48；③ $A' C - B' C$ 的最大值为15；④ $A' C + B' C$ 的最小值为 $9 \sqrt{17}$ .其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 已知 $x^{2} = 4$ ，则 $x$ ＝；

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12. 在-2，-1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是.

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13. 如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点， $A F = 3$ ，则GH的长为.

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14. 若 $\frac{n + m}{n - m} = 3$ ，则 $\frac{m^{2}}{n^{2}} + \frac{n^{2}}{m^{2}} =$

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为BC上一点， $B C = \sqrt{3} A B = 3 B D$ ，则 $A D ： A C$ 的值为.

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16. 关于抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1 (a \neq 0)$ ，给出下列结论：①当 $a < 0$ 时，抛物线与直线 $y = 2 x + 2$ 没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则 $a ⩾ 1$ .其中正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(2 x + 1) (2 x - 1) - {(2 x - 3)}^{2}$ ，其中 $x = - 1$ .

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18. 如图， $∠ B A C = 90 °$ ，AD是 $∠ B A C$ 内部一条射线，若 $A B = A C$ ， $B E ⊥ A D$ 于点E， $C F ⊥ A D$ 于点F.求证： $A F = B E$ .

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19. 某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目.

(1)、求考生小红和小强自选项目相同的概率.

(2)、除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目.小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：

考生

自选项目

长跑

掷实心球

小红

95

90

95

小强

90

95

95

①补全条形统计图.

②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ .

(1)、求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且k与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求k所有可能的值.

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21. 如图，反比例函数的图象与过点 $A (0 ， - 1)$ ， $B (4 ， 1)$ 的直线交于点B和C.

(1)、求直线AB和反比例函数的解析式.

(2)、已知点 $D (- 1 ， 0)$ ，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求 $△ B C E$ 的面积.

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22. 如图，A，B是 $⊙ O$ 上两点，且 $A B = O A$ ，连接OB并延长到点C，使 $B C = O B$ ，连接AC.

(1)、求证：AC是 $⊙ O$ 的切线.

(2)、点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交 $⊙ O$ 于点F，G， $O A = 4$ ，求GF的长.

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23. 超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元.

(1)、求苹果的进价.

(2)、如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克.写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式.

(3)、超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完.据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为 $z = - \frac{1}{100} x + 12$ .在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量.（利润＝销售收入 $-$ 购进支出）

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24. 如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）.DF交AC于点G， $G H ⊥ A D$ 于点H， $A B = 1$ ， $D E = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\tan ∠ A C E$ .

(2)、设 $A F = x$ ， $G H = y$ ，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.

(3)、当 $∠ A D F = ∠ A C E$ 时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

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25. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为 $x = \frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.

(3)、如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 $∠ D Q E = 2 ∠ O D Q$ .在y轴上是否存在点F，使得 $△ B E F$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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考生	自选项目	长跑	掷实心球
小红	95	90	95
小强	90	95	95