湖北省随州市曾都区2021年年九年级下学期初中毕业升学适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各式中，结果是100的是（）

A、 $- (+ 100)$ B、 $- (- 100)$ C、 $- | + 100 |$ D、 $- | - 100 |$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a + 6 b = 9 a b$ B、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$ C、 $- 6 a^{3} b \div 2 a b = - 3 a^{2} b$ D、 ${(a^{2})}^{3} - {(- a^{3})}^{2} = 0$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E，F分别在边 $B C$ ， $A B$ ， $A C$ 上，下列能判定 $D E // A C$ 的条件是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 3$ B、 $∠ 3 = ∠ C$ C、 $∠ 2 = ∠ 4$ D、 $1 + ∠ 2 = 180 °$

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4. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} + 5^{2} = {(x + 1)}^{2}$ B、 $x^{2} + 10^{2} = {(x + 1)}^{2}$ C、 ${(x - 1)}^{2} + 5^{2} = x^{2}$ D、 ${(x - 1)}^{2} + 10^{2} = x^{2}$

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5. 在体育中考训练中，男生小杰6次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5，关于这组数据，下列结论不正确的是（）

A、众数是2.4 B、中位数是2.4 C、平均数是2.4 D、方差是1

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6. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为 $30 m$ ，则这栋楼的高度为（）

A、 $40 \sqrt{2} m$ B、 $30 \sqrt{2} m$ C、 $40 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

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7. 如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度h与时间t的函数关系（）

A、 B、 C、 D、

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8. 对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式： $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ ，这样原方程就可变为 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是原方程的解.据此，显然 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 有一个解为 $x_{1} = 2$ ，设它的另两个解为 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则式子 $x_{2} x_{3} - x_{2} - x_{3}$ 的值（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、7

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）经过点 $(2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ .下列结论：① $a b c > 0$ ；② $8 a + c = 0$ ；③对于任意实数m，总有 $a (m^{2} - 1) + b (m + 1) \leq 0$ ；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = p$ （P为常数，且 $P > 0$ ）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

10. 计算： $\sqrt[3]{27} + {(- 1)}^{2021} - \sqrt{4} =$ .

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq - 1 \\ \frac{x}{2} < 1 \end{array}$ 的非负整数解是.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = \sqrt{3} cm$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $R t △ A B' C'$ ，使点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 的长度是 $cm$ .

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13. 如图，点O是 $△ A B C$ 的重心，延长 $A O$ 交 $B C$ 于点D，延长 $B O$ 交 $A C$ 于点E，过点O作 $O F // B C$ 交 $A B$ 于点F.现随机向 $△ A B C$ 内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为.

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14. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性.从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，…，第n个数记为 $a_{n}$ . $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} = \frac{n}{2021}$ ，则n的值为.

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ， $A B ⊥ B D$ ， $P$ 是 $B C$ 上方一动点，且 $∠ B P C = 60 °$ ， $P C$ 交 $B D$ 于点E.当点P运动到 $P B = P C$ 时， $\frac{P E}{E C}$ 的值为；随着点P的运动， $\frac{P E}{E C}$ 的最大值为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中 $α = 2 \cos 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π - 3)}^{0}$ .

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，E是 $A B$ 边上一点，过点 $C$ 作 $C F / / A B$ 交 $E D$ 的延长线于点F.

(1)、求证： $Δ B D E ≅ Δ C D F$ .

(2)、当 $A D ⊥ B C$ ， $A E = 2$ ， $C F = 4$ 时，求 $A C$ 的长.

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18. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第三象限交于点 $A (- 3 ， - 2)$ ，与y轴的正半轴交于点B，且 $O B = 4$ .

(1)、求函数 $y = \frac{m}{x}$ 和 $y = k x + b$ 的解析式；

(2)、将直线 $A B$ 向下平移4个单位后得到直线 $l$ ： $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ （ $k_{1} \neq 0$ ），l与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象相交，求使 $y_{1} < y_{2}$ 成立的x的取值范围.

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19. 为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识问卷测试，从中抽取部分答卷，统计整理得到如下不完整的频数分布表和扇形统计图.

等级	成绩/分	频数
A	$95 \leq x \leq 100$	$m$
B	$90 \leq x < 95$	8
C	$85 \leq x < 90$
D	$80 \leq x < 85$	4

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：

m =

，

n =

，形统计图中“D”等级的圆心角为度；

(2)、若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数；

(3)、已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.

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20. 如图， $A B$ ， $A C$ 切 $⊙ O$ 分别于点B，C， $B D // A C$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $CO$ 并延长交 $B D$ 于点E.

(1)、求证： $B E = D E$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为13， $\tan A = \frac{12}{5}$ ，求 $A B$ 的长.

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21. 某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为16米，宽为3米，抛物线的最高处C距地面7米.

(1)、经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的表达式；

(2)、观景拱桥下有两根长为4.75米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离；

(3)、现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高3.5米水平线上，两立柱间安装一个长8米的矩形广告牌 $E F M N$ ，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离 $M H$ 不得小于0.35米，求矩形广告牌的最大高度 $M F$ .

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22. 在一个三角形中，如果有两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”.根据这个定义，显然 $α + β < 90 °$ ，则这个三角形的第三个角为 $180 ° - (α + β) > 90 °$ ，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形.

(1)、若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数；

(2)、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 9$ ，点D在边 $B C$ 上，连接 $A D$ ，且 $A D$ 不平分 $∠ B A C$ .若 $△ A B D$ 是“亚直角三角形”，求线段 $A D$ 的长；

(3)、如图2，在钝角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C > 90 °$ ， $A B = 7$ ， $B C = 15$ ， $△ A B C$ 的面积为42，求证： $△ A B C$ 是“亚直角三角形”.

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23. 如图1，已知抛物线 $y = x^{2} + m x$ 与x轴正半轴交于点A， $B (- \frac{1}{3} m ， 0)$ 为x轴上另一点，直线 $y = - \frac{5}{3} x$ 交抛物线的对称轴于点C，过点B作 $B M // O C$ 交过点C平行于x轴的直线于点M，D为抛物线的顶点.

(1)、直接用含m的代数式表示点A，D的坐标；

(2)、若点M恰好在该抛物线上，求四边形 $B O C M$ 的面积；

(3)、如图2，在（2）的条件下，连接 $D M$ ，G为x轴上一点，H为抛物线上一动点，若以点A，G，H为顶点的三角形与 $△ C D M$ 相似，请直接写出点H及其对应的点G的坐标.

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