人教版2019必修一 4.4 对数函数同步练习

试卷更新日期：2021-06-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{\ln x}$ 的定义域是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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2. 将函数 $y = \log_{2} (2 x + 2)$ 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $\log_{2} (2 x + 1) - 1$ B、 $\log_{2} (2 x + 1) + 1$ C、 $\log_{2} x - 1$ D、 $\log_{2} x$

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3. 已知 $a = \log_{3} 5, b = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}, c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{6}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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4. 函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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5. 如图，①②③④中不属于函数 $y = \log_{2} x$ ， $y = \log_{0.5} x$ ， $y = - \log_{3} x$ 的一个是（）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $\log_{2} (a x^{2} - 2 x + 3) > 0$ 的解集为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (1 - a x)$ ，若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2]$ 上为减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- \infty, 0)$

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8. 已知函数 $f (x) = | {log}_{\frac{1}{2}} x |$ ，若正实数m ， n（ $m < n$ ）满足 $f (m) = f (n)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[m^{2} ， n]$ 上的最大值为4，则 $n - m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 C、 D、

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二、多选题

9. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足等式 ${(\frac{1}{2})}^{a} = {(\frac{1}{3})}^{b}$ ，则下列五个关系式中不可能成立的是（）

A、 $0 < b < a$ B、 $a < b < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $b < a < 0$

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10. 若 $0 < a \leq b < 1$ ， $c > 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\log_{a} c \geq \log_{b} c$ B、 $\lg (a^{c} + a^{- c})$ 有最小值 C、 $c^{a} + a^{c} \leq c^{b} + b^{c}$ D、若 $(c - a - b) c = a b$ ，则 $\frac{c}{a + b}$ 的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(s, t)$ ，正数 $m$ 、 $n$ 满足 $m + n = s + t$ ，则（）

A、 $m + n = 4$ B、 $m^{2} + n^{2} \geq 8$ C、 $m n \geq 4$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq 1$

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12. 关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2^{x}} + a ， x ⩾ 1 \\ \log_{2} (2 - x) ， x < 1 \end{array}$ ，正确的结论是（）

A、 $f$ $(x)$ 是单调递减函数 B、当 $a ⩾ 0$ 时，则 $f$ $(x) > 0$ C、当 $- \frac{1}{2} ⩽ a < 0$ 时，则 $f$ $(x)$ 只有一个零点 D、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，则 $f$ $(x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{l g (x + 1)}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域为．

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14. 若函数 $y = a^{- x}$ 的反函数的图象经过点 $(\frac{1}{2}, 1)$ ，则 $a =$ .

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15. 函数 $f (x) = \log_{3} (9 - x^{2})$ 的最大值是．

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16. 若定义在（－1,0）内的函数f （x）＝log _2a（x＋1）满足f （x）＞0，则a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {a | l o g_{a} \frac{1}{2} < 1}$ ， $B = {a | {(\frac{1}{2})}^{a} < 1}$ ．

(1)、求集合A、B；

(2)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ．

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18. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，当x＞0时， $f (x) = \log_{2} \frac{1}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于x的不等式： $f (- 2^{x}) + \log_{2} 3 > 0$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = \lg (1 + x) + \lg (1 - x)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），设 $g (x) = f (2 + x) - f (2 - x)$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、求不等式 $g (x) > 0$ 的解集.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{5} (3 a x + b)$ ，其中 $a, b$ 为常数，且 $f (40) = 3, f (0) = 1$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若对于任意 $x \in [- 1, + \infty)$ ，不等式 $5^{x} > m - f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (1 - m x) - \log_{a} (1 + x),$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1, m \neq - 1$ ）是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数.
（Ⅰ）求实数 $m$ 的值；

（Ⅱ）判断并用定义证明 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅲ）若 $f (\frac{1}{3}) < 0$ ，且 $f (2 b - 1) + f (b - \frac{1}{2}) > 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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