人教版2019必修一 4.3 对数同步练习

试卷更新日期：2021-06-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 ${(\frac{1}{5})}^{a} = 3$ ，则 $a - \log_{\frac{1}{5}} 15 =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{5}$ D、3

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2. 已知 $\log_{4} x = 2$ ，则x等于（）

A、±4 B、4 C、16 D、2

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3. $\log_{3} 18 - \log_{3} 2 =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 方程 $3^{\log_{2} x} = \frac{1}{9}$ 的解集为（）

A、 ${\frac{1}{4}}$ B、{4} C、 ${\frac{1}{3}}$ D、 ${\frac{1}{9}}$

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5. 设 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 6 \cdot \log_{6} m = \log_{4} (2 m + 8)$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、-2或4

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6. 若 $\log_{2} x + \log_{4} y = 1$ ，则 $x^{2} + y$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知 $2^{x} = 3^{y} = k$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、6 B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、3

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8. $5 G$ ，顾名思义是第五代通信技术.技术中信息容量公式就是著名的香农公式： $C = B \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率 $C$ 取决于信道宽度 $B$ ，信道内信息的平均功率 $S$ 及信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变信道宽度 $B$ ，而将信噪比从 $1000$ 提高到 $4000$ ，则传送速率 $C$ 大约增加了（）

A、10% B、20% C、25% D、50%

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二、多选题

9. 已知 $2^{x} = 3, 3^{y} = 4$ ，则（）

A、 $x < \frac{3}{2}$ B、 $x y = 2$ C、 $x > y$ D、 $x + y > 2 \sqrt{2}$

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10. 下列结论正确的有（）

A、若 $10 = \lg x$ ，则 $x = 100$ B、函数 $y = {(1 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 的定义域为 $(- \infty, 1)$ C、若 $2^{a} = 3^{b} = m$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $m = \sqrt{6}$ D、函数 $y = 2 x - \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[2, + \infty)$

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11. 已知 $a$ ， $b$ 均为正实数，若 $\log_{a} b + \log_{b} a = \frac{5}{2}$ ， $a^{b} = b^{a}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12. 任何一个正整数

x

可以表示成

x = a \times 10^{n}, (1 \leq a < 10, n \in N)

，此时，

\lg x = n + \lg a

真数	2	3	4	5	6	7	8
常用对数（近似值）	0.301	0.477	0.602	0.699	0.778	0.845	0.903

下列结论正确的是（）

A、

x

是

n + 1

位数 B、

x

是

n

位数 C、

3^{100}

是48位数 D、一个

11

位正整数的

15

次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5

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三、填空题

13. $\lg 5 - \lg \frac{1}{2} + 3^{\log_{3} 5} =$ .

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14. 方程 $\log_{2} (x + 14) + \log_{2} (x + 2) = 3 + \log_{2} (x + 6)$ 的解是.

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15. 已知 $2^{x} = 3^{y} = a$ ，若 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $a =$ ．

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16. 若下表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是，其正确的值为.

对数

$\lg 6$

$\lg 2$

$\lg 3$

$\lg 12$

$\lg 25$

值

$1 + b - c$

$1 - a - c$

a+b

$- a + b - 2 c + 2$

${(a + c)}^{2}$

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 8)}^{0} + \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}} + {(0.5)}^{- 1}$ ；

(2)、 ${(\lg 2)}^{2} + \lg 5 \times \lg 2 + \lg 5 + \ln$ 1.

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18. 计算下列各式：
（Ⅰ） ${(0.125)}^{- \frac{2}{3}} + {(\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3})}^{6} - \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 3)}^{2}}$

（Ⅱ） $2^{\log_{2} 3} - \log_{3} 7 \cdot \log_{7} 9 + \log_{18} 6 + \log_{18} 3$

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19.

(1)、化简： $\sqrt[3]{8^{2}} + \log_{9} 8 \times \log_{2} 27 + {0.064}^{- \frac{1}{3}} - 16^{\frac{1}{4}} + {(\frac{1}{7})}^{0} - \sqrt[4]{81}$

(2)、已知 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 5$ ，求 $\log_{12} 20$ （用 $m, n$ 表示）.

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20.

(1)、已知 $a + a^{- 1} = 7$ ，求 $a^{2} + a^{- 2}$ 及 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ 的值；

(2)、已知 $\lg 3 = a$ ， $\lg 5 = b$ ，用 $a$ ， $b$ 分别表示 $\log_{5} 3$ 和 $\lg 3.6$ .

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21.

(1)、证明对数换底公式： $\log_{b} N = \frac{\log_{a} N}{\log_{a} b}$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ， $N > 0$ ）

(2)、已知 $\log_{3} 2 = m$ ，试用m表示 $\log_{32} 18$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + 1) (x + a)}{x}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、记集合 $A = {y | y = f (x), x \in {- 1, 1, 2}}$ ， $t = \lg^{2} 2 + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 5 + \frac{1}{2}$ ，判断t与集合A的关系；

(3)、当 $x \in [\frac{1}{m}, \frac{1}{n}] (m > 0, n > 0)$ 时，若函数 $f (x)$ 的值域为 $[3 - 3 m, 3 - 3 n]$ ，求 $m, n$ 的值.

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对数	$\lg 6$	$\lg 2$	$\lg 3$	$\lg 12$	$\lg 25$
值	$1 + b - c$	$1 - a - c$	a+b	$- a + b - 2 c + 2$	${(a + c)}^{2}$