人教版2019必修一 4.2 指数函数同步练习

试卷更新日期：2021-06-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = 2 a^{x - 1} - 1 (a > 0 ，且 a \neq 1)$ 恒过定点（）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， - 1)$

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2. 若 $2020^{a} = 2021^{b} > 1$ ，则（）

A、 $0 < b < a$ B、 $a < b < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $b < a < 0$

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3. 函数 $f (x) = 2^{x}$ 和函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的图象关于（）对称.

A、原点 B、 $y = x$ C、 $y$ 轴 D、 $x$ 轴

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4. 函数 $y = a^{| x |} (a > 1)$ 图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $a = {0.8}^{0.8}$ ， $b = {0.8}^{0.9}$ ， $c = {1.2}^{0.8}$ ，则（）

A、c＜b＜a B、c＜a＜b C、b＜a＜c D、a＜b＜c

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ，则函数 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $R$ 上单增 B、是奇函数，且在 $R$ 上单减 C、是偶函数，且在 $R$ 上单增 D、是偶函数，且在 $R$ 上单减

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7. 若函数 $y = {(1 - 2 a)}^{x}$ 是实数集 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为(　　)

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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8. 若不等式 ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 a x} < 2^{3 x + a^{2}}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(\frac{3}{4} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{3}{4})$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{4})$

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二、多选题

9. 下列判断正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $y = \frac{1}{x}$ 是定义域上的减函数 C、 $x < - 1$ 是不等式 $\frac{x - 1}{x} > 0$ 成立的充分不必要条件 D、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 过定点 $(1 ， 2)$

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10. 若指数函数 $y = a^{x}$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值和最小值的和为 $\frac{5}{2}$ ，则 $a$ 的值可能是（）.

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 $y (m^{2})$ 与时间t(月)的关系为： $y = a^{t}$ .有以下几个判断，正确的是（）

A、 $a = 2$ B、浮萍从 ${5m}^{2}$ 蔓延到 $1 {5m}^{2}$ 只需要经过1.5个月 C、在第6个月，浮萍面积超过 ${30m}^{2}$ D、若浮萍蔓延到 ${2m}^{2} ， {4m}^{2} ， {8m}^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$

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三、填空题

12. 函数y= $\sqrt{2^{x} - 1}$ 的定义域是．

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13. 函数 $f (x) = {0.3}^{1 - x^{2}}$ 的单调递增区间为.

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14. 已知函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{m t - 7}$ （m为常数），当 $t = 4$ 时， $y = 64$ ，若 $y ⩽ \frac{1}{2}$ ，则t的取值范围为．

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15. 若 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，不等式 $4^{x} - m \cdot 2^{x} + 1 > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

16. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < 2^{x} < 4}$ ，集合 $B = {y | y = \frac{a}{x} ， x \in (\frac{1}{a} ， + \infty)}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，且 $A \cup (∁_{U} B) = U$ ，求实数 $a$ 的值.

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17. 已知函数f(x)＝ ${(\frac{1}{2})}^{a x}$ ，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).

(1)、求a的值；

(2)、若g(x)＝4^－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2^{x} - 1} + 1$ 是奇函数，其中 $a$ 是常数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) > 3$ ，求实数 $x$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = {(\frac{1}{a})}^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $f (- 1) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、在同一坐标系中画出函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象；

(3)、如果 $f (x) < g (x)$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

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20. 定义在 $[- 4 ， 4]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，已知当 $x \in [- 4 ， 0]$ 时， $f (x) = \frac{1}{4^{x}} + \frac{a}{3^{x}}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 上的解析式；

(2)、若 $x \in [- 2 ， - 1]$ 时，不等式 $f (x) \leq \frac{m}{2^{x}} - \frac{2}{3^{x}}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k•a^t（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）

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