辽宁省名校联盟2020-2021学年高二下学期数学6月份联合考试试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $M = {y | y = - x^{2}, x \in R}$ ， $N = {x | - 1 < x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 3]$ B、 $[0, 3]$ C、 $(- 1, 0]$ D、 $(- 1, 0)$

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2. “ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点，已知双曲线 $Γ$ 的焦点为 $A$ 、 $C$ ，且经过 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 四点，则双曲线 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知正数a，b满足 $(a - 1) (b - 1) = 1$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值等于（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、9

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $0 > \frac{a_{5}}{a_{6}} > - 1$ ，且它的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值，那么满足 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值是（）

A、1 B、5 C、9 D、10

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7. 定义：在数列 ${a_{n}}$ 中，若满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d$ $(n \in N^{*}, d$ 为常数），称 ${a_{n}}$ 为“等差比数列”,已知在“等差比数列” ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1, a_{3} = 3$ ,则 $\frac{a_{2018}}{a_{2016}} =$ （）

A、 $4 \times 2016^{2} - 1$ B、 $4 \times 2017^{2} - 1$ C、 $4 \times 2018^{2} - 1$ D、 $4 \times 2018^{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上是增函数，在 $[0 ， 2]$ 上是减函数，且方程 $f (x) = 0$ 有3个实数根，它们分别是 $α$ ， $β$ ，2，则 $α^{2} + β^{2}$ 的最小值是（）

A、5 B、6 C、1 D、8

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $a$ ， $b \in R$ 且 $a + b > 4$ ，则a，b至少有一个大于2 B、“ $\exists x \in R$ ， $2^{x} = 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} \neq 1$ ” C、“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”，是“ $a b > 1$ ”的必要不充分条件 D、 $△ A B C$ 中，A是最大角，则“ $\sin^{2} A > \sin^{2} B + \sin^{2} C$ ”是 $△ A B C$ 为钝角三角形”的充要条件

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10. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x + 2) = - f (x)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数且周期为4 B、 $f (x)$ 关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[- 4, 4]$ 上至少有5个零点

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，顶点为O，过点F的直线 $l$ 与抛物线交于A，B两点，A在第一象限，若 $| A F | = 3 | F B |$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ B、线段AB的长度为 $\frac{16}{3}$ C、 $O A ⊥ O B$ D、以AF为直径的圆与y轴相切

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12. 已知定义在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) > f (x) \cdot \tan x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ B、 $\sqrt{3} f (\frac{π}{3}) > f (\frac{π}{6})$ C、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{4}) > f (\frac{π}{6})$ D、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{4}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$

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三、填空题

13. 不等式 $x + \frac{6}{x + 1} < 4$ 的解集为．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ，点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，则 $| P A |$ 的最大值与最小值的积为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{4} + \dots + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 2^{n} + n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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16. 若满足不等式 $\frac{\ln x}{x} > a (x + 1)$ 的整数解有且只有1个，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 在① $S_{n} = n^{2}$ ；② $a_{2} = 3$ ， $S_{7} = 49$ ；③ $S_{5} - S_{3} = 16$ ， $S_{2} = 4$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
已知等差数列 ${a {}_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且满足_______，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = 2 b_{n} - 2$

(1)、求数列 ${a {}_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $R_{n}$ ．

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数， $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + \sin x$ ， $g (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 的函数，且 $g (x) = a x + \frac{1}{x} - 2 (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于 $\forall x_{1} \in [- 1 ， 1]$ ， $\exists x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n - 1$ ，设 $b_{n} = a_{n} + n$ ， $c_{n} = a_{n} + λ n$ （ $λ$ 为实数）．

(1)、求证： ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 ${c_{n}}$ 是递增数列，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = - (a + 1) \ln x + x - \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为F，过F的直线 $l$ 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 $l$ 与x轴垂直时， $| A B | = 3$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、当直线 $l$ 变动时，求 $△ A B P$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{1 - x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) - a = 0$ 有两个不同的解，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $x \geq 1$ 时，求证： $f (x) \leq \ln x$ ．

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