福建省2021年数学中考中招适应性测试试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2021的相反数是（）

A、 $- 2021$ B、 $- \frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 改革开放是促进我国经济腾飞的法宝，对我国经济社会发展意义重大.2020年，我国国内生产总值超过101万亿元人民币，迈上百万亿元新台阶.数据“101万亿”用科学记数法表示为（）

A、 $101 \times 10^{9}$ B、 $1 .01 \times 10^{9}$ C、 $1 .01 \times 10^{14}$ D、 $0.101 \times 10^{15}$

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3. 下列对于几何体三视图的说法，错误的是（）

A、长方体的主视图可能为正方形 B、圆锥的左视图是三角形 C、球的俯视图可能为椭圆 D、左视图反映物体的高和宽

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4. 下列解分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{2 - x} = 0$ 的步骤中，错误的是（）

A、找最简公分母： $2 - x$ B、去分母： $- x + 2 = 0$ C、计算方程的根： $x = 2$ D、验根：当 $x = 2$ 时，方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{2 - x} = 0$ 成立

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5. 已知一组数据： $- 1$ ，5， $- 2$ ，4，2，x.若该组数据的平均数是1，则其众数与中位数分别是（）

A、 $- 2$ ；0.5 B、 $- 2$ ；2 C、 $- 1$ ；2 D、1；5

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6. 如图所示，在正五边形 $A B C D E$ 中，过顶点A作 $A F ⊥ C D$ ，垂足为点F，连接对角线 $A C$ ，则 $∠ C A F$ 的度数是（）

A、16° B、18° C、24° D、28°

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7. 某同学现有一装有若干个黄球的袋子.为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了40个绿球（所有球除颜色外其余均相同），摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（）

A、200个 B、220个 C、240个 D、280个

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8. 如图所示，在 $⊙ O$ 中，线段 $A B$ 是直径，点D是弧 $A B$ 上一点.延长 $A B$ 至点C，使得 $A B = 2 B C$ ，连接 $A D$ ， $O D$ ， $C D$ .若 $∠ C = 30 °$ ，则 $∠ A D O$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知动点A在双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的第一象限分支上，连接 $O A$ ，以 $O A$ 为边，构造正方形 $O A B C$ ，设正方形 $O A B C$ 的面积为S.若 $S \geq 4$ ，则实数k的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 下表是二次函数

y = x^{2} + b x + c

（b，c均为整数）的自变量x与因变量y的部分对应值.

自变量x	$- 4.83$	$- 3.08$	$- 2.67$	$- 1.86$	$- 0.45$	0.07	1.33
因变量y	7.0089	0.1664	$- 0.5511$	$- 0.9804$	1.4025	3.2849	10.0889

给出下列判断，其中错误的是（）

A、该抛物线的对称轴是直线

x = - 2

B、该二次函数的最小值为

- 1

C、当

x_{1} = - 4.29

、

x_{2} = - 0.11

时，

y_{1} > y_{2}

D、当

x_{3} > x_{4} > 0

时，

(x_{3} - x_{4}) (y_{3} - y_{4}) < 0

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二、填空题

11. 求值： $\sqrt{{(- 3)}^{2}} =$ ．

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - 2 x \geq 0 \\ 3 x - 1 < 4 \end{array}$ 的解集是.

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13. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 9$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，点E在 $A B$ 的延长线上，且 $B E = 3$ .连接 $O E$ 交 $B C$ 于点F，则 $\frac{S_{△ O B F}}{S_{△ O C F}} =$ .

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14. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中，扇形 $A B E$ 的弧 $A E$ 与扇形 $C D F$ 的弧 $C F$ 相切于点O，且点在矩形的中心上.若 $A B = \sqrt{2}$ ，则图中阴影部分的面积是.

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15. 点P是等边三角形 $A B C$ 内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为 $P H_{1}$ ， $P H_{2}$ ， $P H_{3}$ ，设 $△ A B C$ 的边长为a.若 $P H_{1} = 1$ ， $P H_{2} = 3$ ， $P H_{3} = 5$ ，则 $a =$ ；若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，则 $P H_{1} + P H_{2} + P H_{3} =$ .

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) \div \frac{a^{2} - a b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ ，其中， $a = 2 - b$ .

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17. 全国政协十三届四次会议和十三届全国人大四次会议相继于2021年3月4日、5日在北京召开.某校党支部为了解在校生收看两会的总时长t（单位：小时）的情况，从在校生中随机抽取了n名学生进行调查，并完成调查问卷（有关两会的基本知识测试，共分4个部分，分别为“两会常识、民生部分、科技部分、政治部分”，各部分满分25分）.校党支部回收所有问卷后，进行整理、统计，绘制了如表1所示的频数分布表（不完整）.

表1：受调查者收看两会的总时长统计表

总时长t/小时	频数	频率
$0 \leq t < 0.5$	7	0.14
$0.5 \leq t < 1$	a	0.28
$1 \leq t < 2$	12
$2 \leq t < 3$	9	b
$t \geq 3$		c

表2：甲、乙、丙三位学生的问卷成绩

	甲	乙	丙
两会常识（权重：20%）	24	22	25
民生部分（权重：30%）	20	24	19
科技部分（权重：25%）	17	18	21
政治部分（权重：25%）	23	19	20
总分		20.85	20.10

(1)、本次抽样调查的样本容量是；表1中

a =

，

b =

，

c =

(2)、从受调查者中随机抽取一人，求抽到的受调查者收看两会的总时长t在“

2 \leq t < 3

”范围内的概率.

(3)、该校党支部欲从收看两会的总时长t在“

t \geq 3

”的范围内的受调查者中，选取问卷成绩较好的一人作为学生代表，在校周会上进行发言.经过初步筛选后，有甲、乙、丙三位学生入选，各自对应的问卷成绩如表2所示（不完整）.根据表2，请你判断甲、乙、丙三位学生中，哪位学生可以作为学生代表进行发言，并说明理由.

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18. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点D.已知点E是 $A C$ 上一点，且满足 $C E = D E$ .设 $A D = 2 a$ ， $B D = 3 a (a > 0)$ .

(1)、尺规作图：在图中确定点E的位置（要求：保留作图痕迹，不写作法）.

(2)、在（1）的条件下，若 $B C = 10$ ，求 $D E$ 的长.

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19. 2020年12月29日至2021年1月7日，我国解放军在南海聚集了一系列新型水面舰艇并展开了相关的军事演习.如图所示，我军某舰队正在南海某海域进行“海上交会”训练：主舰队P从点A以平均航速 $32 n mile / h$ ，沿北偏东30°的方向出发.同时，补给舰Q从海岛B以平均航速 $20 n mile / h$ ，沿西偏北80°的方向出发.已知主舰队P与补给舰Q同时出发，经过 $0.5 h$ 后，P，Q在点C处相遇，完成“海上交会”.求点A，B间的直线距离（结果精确到 $0 .01 n mile$ .参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sqrt{65} \approx 8.06$ ）.

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20. 我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律.类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的.下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：
步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象；

步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的图象；

步骤③：比较反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 与函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律.

(1)、完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）.

(2)、根据图象，回答下列问题：
①函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的图象是由反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象向平移个单位长度后得到的.

②函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的图象的对称中心是.（填点的坐标）

(3)、类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程 $\frac{x + 2}{x} = \frac{1}{x}$ 的根的个数.

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21. 厨余垃圾无公害化、高效化处理是破解“日益严重的垃圾包围城市的困境”的重要手段之一.某科研团队在自然界中找到了两种“吞噬细菌甲，乙”，并进行实验室繁殖.通过研究，科研人员发现：等数量的吞噬细菌甲、乙分解单位体积内的厨余垃圾的速率v（单位： $mol / min$ ）与环境温度T（单位：℃）存在如图所示的函数关系，分段函数 $C_{2}$ 对应吞噬细菌甲、分段函数 $C_{1}$ 对应吞噬细菌乙（ $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的图象中，曲线部分是双曲线，其余均是直线）.

(1)、根据图中给出的数据，求函数 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的函数解析式；

(2)、在测试中，科研人员又发现：若吞噬细菌甲、乙共存，则总分解速率v将会发生改变，对应的函数曲线为 $C_{3}$ ，其中，线段 $O D$ 是 $∠ A O C$ 的角平分线，求线段 $O D$ 对应的函数解析式.

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22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6 (a \neq 0)$ 过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴的交点为C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、试画出函数 $y = | a x^{2} + b x + c |$ 的大致图象，并直接写出方程 $| a x^{2} + b x + c | - x = 6$ 的根的个数.

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23. （模型构建）如图所示，在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $△ D E F$ 的顶点E，F分别在 $A B$ ， $B C$ 上（可与点A，B，C重合），且满足 $∠ E D F = 45 °$ . $△ D E F$ 的高线 $D G$ 交线段 $E F$ 于点G（可与E，F重合），设 $\frac{D G}{A D} = k$ .

(1)、求k的值.

(2)、判断k的值是否改变.若改变，请求出k的取值范围；若不改变，请证明.
（深入探究）在（模型构建）的基础上，设 $△ D E F$ 的面积为S.

(3)、①求S的最小值；
②当S取到最小值时，直接写出 $D G$ 与 $G B$ 的数量关系.

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