辽宁省六校协作体2020-2021学年高二下学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在等差数列{a_n}中，a₂=2，a₃=4，则a₁₀=（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 从1到4的平均变化率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、3

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3. 已知曲线 $y = \frac{x^{2}}{2} - 3 \ln x$ 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为 $\frac{2}{3}$ ，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且三家公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} (a_{n} < \frac{1}{2}) \\ 2 a_{n} - 1 (a_{n} \geq \frac{1}{2}) \end{array}$ 若 $a_{1} = \frac{4}{5},$ 则 $a_{2013}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝ $\frac{a}{n (n + 1)}$ (n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则 $P (\frac{7}{4} < X < \frac{13}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{16}$

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x - 3, x \leq 7 \\ a^{x - 6}, x > 7 \end{array}$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (n), n \in N_{+}$ ，且数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A、 $(2, 3]$ B、 $(1, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, \frac{3}{2})$

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8. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ ，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) - f (x) > 0$ 恒成立，则 $a = f (2) ， b = \frac{1}{2} f (3)$ ， $c = (\sqrt{2} + 1) f (2)$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $X ~ B (n, \frac{1}{3})$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $n = 6$ B、设有一个回归方程 $y = 3 - 5 x$ ，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D、在某项测量中，测量结果 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (ξ > 1) = 0.5$

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10. 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

0

1

2

3

4

$P$

$q$

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有

A、 $q = 0.1$ B、 $E X = 2$ ， $D X = 1.4$ C、 $E X = 2$ ， $D X = 1.8$ D、 $E Y = 5$ ， $D Y = 7.2$

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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12. 已知在 $△ A B C$ 中， $A_{1}, B_{1}$ 分别是边 $B A, C B$ 的中点， $A_{2}, B_{2}$ 分别是线段 $A_{1} A, B_{1} B$ 的中点， $\dots A_{n}, B_{n}$ 分别是线段 $A_{n - 1} A, B_{n - 1} B (n \in N^{*}, n > 1)$ 的中点，设数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $\vec{B_{n} A_{n}} = a_{n} \vec{C A} + b_{n} \vec{C B} (n \in N^{*})$ ，给出下列四个结论，其中正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，数列 ${b_{n}}$ 是递减数列 B、数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是等比数列 C、数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}} (n \in N^{*}, n > 1)$ 既有最小值，又有最大值 D、若在 $△ A B C$ 中， $C = 90^{\circ}, C A = C B$ ，则 $| \vec{B_{n} A_{n}} |$ 最小时， $a_{n} + b_{n} = \frac{1}{2}$ .

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三、填空题

13. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分） $X$ 服从正态分布 $N (110, 10^{2})$ ，从中抽取一个同学的数学成绩 $ξ$ ，记该同学的成绩 $90 < ξ \leq 110$ 为事件 $A$ ，记该同学的成绩 $80 < ξ \leq 100$ 为事件 $B$ ，则在 $A$ 事件发生的条件下 $B$ 事件发生的概率 $P (B | A) =$ ．（结果用分数表示）
附参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.68$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.95$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.99$ ．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 + a_{n + 1}$ ，则 $a_{1} =$ .

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15. 如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域I和区域Ⅱ，点C在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $∠ C O A = θ$ ， $C D / / O A$ ，其中 $\overset{⌢}{A C}$ ，半径OC及线段CD需要用渔网制成.若 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $O A = 1$ ，则所需渔网的最大长度为．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} + b (a ， b$ 为实数，且 $a > 1)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为1，最小值为-2，则 $a - b =$ ， $f (x)$ 的解析式为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3} = 7$ ， $a_{5} + a_{7} = 26$ ． ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ （ $n \in N^{+}$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 为大力发展绿色农产品，保证农产品的质量安全，某农业生态园对某种农产品的种植方式进行了甲､乙两种方案的改良，为了检查改良效果，分别在实施甲､乙方案的农场中，各随机抽取60家的该农产品进行检测，并把结果转化为质量指标x(x越小，产品质量越好)，所得数据如下表所示.若质量指标满足

0 < x < 0.6

，则认定该农产品为“优质品”，否则认定该农产品为“合格品”.已知此次调查中，实行甲方案的农场中该农产品为“优质品”的农场占20%.

x	$[0, 0.2)$	$[0.2, 0.4)$	$[0.4, 0.6)$	$[0.6, 0.8)$	$[0.8, 1]$
频数	5	10	15	60	30

(1)、完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为该农产品为“优质品”与种植方案有关：

	甲方案	乙方案	总计
“优质品”农场数
“合格品”农场数
总计

(2)、某调研员决定从实施方甲､乙案的所有农场中，随机抽取2家的农产品进行分析，记抽到的农产品是“优质品”的农场数为X，以样本频率作为概率，求X的分布列和数学期望.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024

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19. 已知函数 $f (x) = 6 \ln x - a x^{2} - 8 x + b$ ，其中 $a ， b$ 为常数且 $x = 3$ 是 $f (x)$ 的一个极值点.

(1)、求 $a$ 的值及当 $b = - 6 ln 2$ 时函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程.

(2)、若 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有且只有 $3$ 个交点，求 $b$ 的取值范围

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20. 在① $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ ，② $a_{3} + a_{5} = 4 (b_{1} + b_{4})$ ，③ $b_{2} S_{4} = 5 a_{2} b_{3}$ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列，其前n项和为 $S_{n} ， {b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} - S_{2} = a_{2} + 2 a_{1} ， a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ，__________.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n} ，$ 求 $T_{n}$ .

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21. 某汽车公司研发了一款新能源汽车“风之子”.

(1)、“风之子”的成本由原材料成本与非原材料成本组成.每辆“风之子”的非原材料成本y(万元)与生产“风之子”的数量x(万辆)有关，经统计得到如下数据：

x(万辆)	1	2	3	4	5	6	7	8
y(万元)	111	60	43.5	34	29.5	27	24	23

现用模型 $\hat{y} = \hat{a} + \frac{\hat{b}}{x}$ 对两个变量的关系进行拟合，预测当数量x满足什么条件时，能够使得非原材料成本不超过20万元；

(2)、某“风之子”4S汽车店给予购车的顾客一次有奖挑战游戏机会.在游戏棋盘上标有第0站､第1站､第2站､…､第100站，约定：棋子首先放到第0站，每次扔一枚硬币，若正面向上则棋子向前跳动1站，若反面向上则棋子向前跳动2站，直至跳到第99站，则顾客挑战成功，游戏结束，跳到第100站，则挑战失败，游戏结束.设跳到第n站的概率为

P_{n} (n = 0, 1, 2, \dots, 100)

.证明：

{P_{n} - P_{n - 1}} (n = 1, 2, \dots, 99)

为等比数列，并求

P_{99}

(可用式子表示).

参考数据：表中 $z_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ，

$\sum_{i = 1}^{8} z_{i} y_{i}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{8} z_{i}^{2} - 8 {\bar{z}}^{2}$	$\bar{y}$
180.68	0.34	0.61	44

参考公式：

①对于一组数据 $(u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}), \dots, (u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{v} = \hat{a} + \hat{b} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}, \hat{a} = \bar{v} - \hat{b} \bar{u}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + a$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $y = f (x)$ 零点的个数；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $x f (x) \leq a (x - 1)$ 恒成立，求正实数a的取值范围．

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	$q$	0.4	0.1	0.2	0.2