河南省郑州市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = 2 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2. 已知函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 \ln x + x^{2} f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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3. 已知随机变量 $X$ 的分布列如表．则实数 $a$ 的值为（）

$X$

0

1

2

$P$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3} + a$

$a$

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 下列四个命题：
⑴两个变量相关性越强则相关系数 $r$ 就越接近于1；

⑵两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

⑶在回归模型中，相关指数 $R^{2}$ 表示解释变量 $x$ 对于预报变量 $y$ 的贡献率， $R^{2}$ 越接近于1，表示回归效果越好；

⑷在独立性检验中，随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 越小，判断“ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越大．

其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法.

A、2 B、6 C、12 D、24

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6. 用反证法证明命题：若 $| x - 1 | + {(y - 1)}^{2} = 0$ ，则 $x = y = 1$ ，应提出的假设为（）

A、 $x$ ， $y$ 至少有一个不等于1 B、 $x$ ， $y$ 至多有一个不等于1 C、 $x$ ， $y$ 都不等于1 D、 $x$ ， $y$ 只有一个不等于1

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7. “关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第 $x$ 年（2016年为第一年）捐赠现金 $y$ （万元）的数据情况．由表中数据得到了 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 2 ． 95$ ，预测2021年该商会捐赠现金（）万元．

$x$

2

3

4

5

$y$

3.5

4

4

4.5

A、4.25 B、5.25 C、5.65 D、4.75

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8. 2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布 $N (96 ， 5^{2})$ ．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{15}{32}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{15}{64}$

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9. 九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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10. 如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第 $n$ 个图形是由正 $(n + 2)$ 边形“扩展”而来，其中 $n \in N^{*}$ ，那么第8个图形共有______个顶点（）

A、72 B、90 C、110 D、312

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11. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在区间 $(2 a ， 3 - a^{2})$ 上有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， - 1]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 8 x - m ， x \leq \frac{1}{2} ， \\ x e^{x} - 2 m x + m ， x > \frac{1}{2} \end{array}$ （ $e$ 是自然对数）在定义域 $R$ 上有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(e ， 4)$ C、 $(e ， 4]$ D、 $[e ， 4]$

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二、填空题

13. 平面内一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 到直线 $l$ ： $A x + B y + C = 0$ 的距离为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ．由此类比，空间中一点 $M (1 ， 1 ， 1)$ 到平面 $α$ ： $x + y + z + 3 = 0$ 的距离为．

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14. 已知 $m ， n$ 是不相等的两个实数，且 $m ， n \in {- 1 ， 1 ， 5 ， 8}$ ．在方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在 $x$ 轴上的双曲线的概率为．

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15. 2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成个不同的六位数．

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $e^{x} - \frac{2 \ln x + a}{x^{2}} = \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知复数 $z = 3 + i + \frac{6 m}{1 - i}$ $(m \in R)$ ．

(1)、当实数 $m$ 取什么值时，复数 $z$ 是纯虚数；

(2)、当实数 $m$ 取什么值时，复平面内表示复数 $z$ 的点位于第一、三象限．

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18. 在二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{m}$ $(m \in N^{*})$ 的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求展开式中所有的有理项．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{2}{5}$ ， $a_{n + 1} a_{n} + 2 a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ， $(n \in N^{*})$ ．

(1)、计算 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 4) x + 2 a \ln x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性．

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21. 2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．

(1)、完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？

	喜欢	不喜欢	总计
男生	40
女生		20
总计			160

(2)、为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记

ξ

为参加活动的同学中获奖的女生人数，求

ξ

的分布列及数学期望

E (ξ)

．

附：

P（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $(n = a + b + c + d)$

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + x \ln a$ ， $g (x) = a e^{2 x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， 1)$ ，不等式 $g (x) - f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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$X$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3} + a$	$a$

$x$	2	3	4	5
$y$	3.5	4	4	4.5