河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二下学期文数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在两个变量 $y$ 与 $x$ 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数 $R^{2}$ 如下，其中拟合效果最好的是（）

A、模型1的相关指数 $R^{2} = 0.96$ B、模型2的相关指数 $R^{2} = 0.81$ C、模型3的相关指数 $R^{2} = 0.50$ D、模型4的相关指数 $R^{2} = 0.25$

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2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（）

A、假设三内角都不大于60° B、假设三内角都大于60° C、假设三内角至少有一个大于60° D、假设三内角至多有两个大于60°

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3. 如图

2 \times 2

列联表中

a

，

b

的值分别为

	$Y_{1}$	$Y_{2}$	总计
$X_{1}$	$c$	$a$	$e$
$X_{2}$	23	$d$	48
总计	$b$	78	121

A、54，43 B、53，43 C、53，42 D、54，42

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4. 观察下列式子: $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，…，则可归纳出 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ 小于（）

A、 $\frac{n}{n + 1}$ B、 $\frac{2 n - 1}{n + 1}$ C、 $\frac{2 n + 1}{n + 1}$ D、 $\frac{2 n}{n + 1}$

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5. 在一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ （ $n \geq 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）

A、庚午年 B、辛未年 C、庚辰年 D、辛巳年

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7. “正三角形的内切圆半径等于此正三角形的高的 $\frac{1}{3}$ ”，拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 下列关于回归分析的说法中错误的是（）

A、线性回归方程对应的直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 不一定经过其样本数据中的点 B、残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高 C、若回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.71$ ，则当 $x = 170$ 时， $y$ 的值必为58.79 D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c$ ， $k$ 的值分别是 $e^{4}$ 和0.3

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9. 以 $B C$ 为斜边的 $R t △ A B C$ 中， $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ，由类比推理，在三棱锥 $P - A B C$ 中，若 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两垂直， $P A = a$ ， $P B = b$ ， $P C = c$ ， $S_{△ B P C} = s_{1}$ ， $S_{△ C P A} = s_{2}$ ， $S_{△ A P B} = s_{3}$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、 $\sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}$ B、 $\sqrt{s_{1}^{2} s_{2}^{2} + s_{2}^{2} s_{3}^{2} + s_{3}^{2} s_{1}^{2}}$ C、 $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ D、 $\sqrt{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} + s_{3}^{2}}$

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10. 已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第二行为4、6，第三行为8、10、12，第四行为14、16、18、20，如图所示，在宝塔形数表中位于第 $i$ 行，第 $j$ 列的数记为 $a_{i ， j}$ ，比如 $a_{3 ， 2} = 10$ ， $a_{4 ， 2} = 16$ ， $a_{5 ， 4} = 24$ ，若 $a_{i ， j} = 2022$ ，则 $i + j =$ （）

A、69 B、70 C、71 D、72

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11. 已知变量 $y$ 关于变量 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = e^{b x - 0.5}$ ，其一组数据如下表所示：

$x$

1

2

3

4

$y$

$e$

$e^{3}$

$e^{4}$

$e^{6}$

若 $\hat{y} = e^{9.1}$ ，则 $x =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $[0 ， 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于8，则需要操作的次数 $n$ 的最小值为（）
参考数据： $(\lg 2 = 0.30 ， \lg 3 = 0.48)$

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

13. 经过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点 $(x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程为 $x_{0} x + y_{0} y = 1$ ，则由此类比可知：经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点 $(x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程为.

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14. 某种产品的广告费支出 $x$ 与销售额 $y$ (单位：万元)之间的关系如下表：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

$y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + 17.5$ ，当广告支出5万元时，随机误差的残差为.

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15. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1 ， 3 ， 6 ， 10$ ，第 $n$ 个三角形数为 $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ .记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N (n ， k) (k \geq 3)$ ，以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：
三角形数 $N (n ， 3) = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$

正方形数 $N (n ， 4) = n^{2}$

五边形数 $N (n ， 5) = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n$

六边形数 $N (n ， 6) = 2 n^{2} - n$

可以推测 $N (n ， k)$ 的表达式，由此计算 $N (10 ， 24) =$ ．

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16. 有两个分类变量

x

和

y

，其中一组观测值为如下的2×2列联表：

	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	$a$	$15 - a$	15
$x_{2}$	$20 - a$	$30 + a$	50
总计	20	45	65

其中 $a$ ， $15 - a$ 均为大于5的整数，则 $a =$ 时，在犯错误的概率不超过 $0.01$ 的前提下为“ $x$ 和 $y$ 之间有关系”.附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} + a_{n} = 2 (n \in N_{+})$ .

(1)、求 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 的值，并写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、写出用三段论证明数列 ${a_{n}}$ 是等比数列的大提前、小前提、结论.

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18.

(1)、用分析法证明：若 $x > 1$ ，则 $3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} > 3 x + \frac{1}{x}$ ；

(2)、用反证法证明：若 $a < e^{2}$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} - 4 e^{x} (x > 0)$ 无零点．

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19. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主于路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份

1

2

3

4

5

违章驾驶员人数

120

105

100

95

80

(1)、请利用所给数据求违章人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

不礼让行人

礼让行人

驾龄不超过1年

24

16

驾龄1年以上

16

14

据此能否有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄是否超过一年有关？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，（其中 $n = a + b + c + d$ ）

P（K²≥k₀）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k₀

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的

A

、

B

、

C

三种样式，且每个盲盒只装一个．

(1)、某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占

\frac{2}{3}

；而在未购买者当中，男生女生各占50%．请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？

	女生	男生	总计
购买
未购买
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考数据：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(2)、该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：

周数x	1	2	3	4	5	6
盒数y	16		23	25	26	30

由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验．

①请用4，5，6周的数据求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

（注： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？

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21. BMI指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI=体重（kg）/身高（m）的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI≥28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：

(1)、求被调查者中肥胖人群的BMI平均值

μ

；

(2)、填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

	肥胖	不肥胖	合计
高血压
非高血压
合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

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22. 已知函数 $f (x) = (\frac{x}{a} - a) \ln x$ $(a > 0)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数，求正数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \neq 1$ 时，设函数 $f (x)$ 的图象与x轴的交点为 $A$ ， $B$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $A$ ， $B$ 两点处的切线斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1}$ + $k_{2}$ $< 0$ .

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	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过1年	24	16
驾龄1年以上	16	14

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

$x$	1	2	3	4
$y$	$e$	$e^{3}$	$e^{4}$	$e^{6}$

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶员人数	120	105	100	95	80