河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二下学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (1) = - 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{3 Δ x} =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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2. 已知 $f (x) = x \cdot \sin x$ ，则导数 $f^{'} (π) =$ （）

A、0 B、-1 C、 $π$ D、 $- π$

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3. 图中阴影部分的面积用定积分表示为

A、 $\int_{0}^{1} 2^{x} d x$ B、 $\int_{0}^{1} (2^{x} - 1) d x$ C、 $\int_{0}^{1} (2^{x} + 1) d x$ D、 $\int_{0}^{1} (1 - 2^{x}) d x$

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4. 曲线 $y = a x + \ln x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为3，则实数 $a$ 的值为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $P (2 ， y)$ 处的切线是 $l$ ，则 $f (2) + f^{'} (2)$ 等于（）

A、-4 B、2 C、-2 D、1

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6. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\ln x + \frac{3}{x})}^{'} = \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$ C、 ${(3^{x} \cos 2 x)}^{'} = 3^{x} (\ln 3 \cdot \cos 2 x + 2 \sin 2 x)$ D、 ${(\ln 2 + \log_{2} x)}^{'} = 2 + \frac{1}{1 - \ln 2}$

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7. $\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x =$ （）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{\sqrt{6}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{6}}{2})$

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9. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 $N$ （单位：贝克）与时间 $t$ （单位：天）满足函数关系 $P (t) = P_{0} 2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中 $P_{0}$ 为时该放射性同位素的含量.已知 $t = 15$ 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 $- \frac{3 \sqrt{2} \ln 2}{10}$ ，则该放射性同位素含量为 $4.5$ 贝克时衰变所需时间为（）

A、20天 B、30天 C、45天 D、60天

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10. 若点P是曲线 $y = x^{2} - \ln x$ 上任意一点，则点P到直线 $y = x - 1$ 的距离的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e^{- 2})$ B、 $(0 ， e^{- 2})$ C、 $(- \infty ， e^{- 1})$ D、 $(0 ， e^{- 1})$

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12. 已知定义 $R$ 在上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f (- x) - 2 \sin x$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) + \cos x > 0$ ，则不等式 $f (x + \frac{π}{2}) > f (x) + \sin x - \cos x$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{π}{4})$ D、 $(- \frac{π}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为偶函数，且 $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ ，则 $\int_{- 2}^{2} f (x) d x =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ ，则 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的倾斜角为.

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15. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x - 2$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上不单调，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 若函数 $f (x) = m - x^{2} + 2 \ln x$ 在 $[\frac{1}{e^{2}} ， e]$ 上有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x$ ，且 $f^{'} (- 1) = - 4$ ， $f^{'} (1) = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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18. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln x - 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = (m - 3) e^{x} + x^{2}$ ，且 $f^{'} (0) = 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = x^{2} + a x - 2 a$ ，若对任意 $x \geq 2$ ， $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x + \cos x - 1}{e^{x}}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 内的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时，求证： $f (x) \leq x$ .

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21. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产 $x$ 万件，需另投入流动成本 $C (x)$ 万元，当年产量小于 $7$ 万件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ （万元）；当年产量不小于 $7$ 万件时， $C (x) = 6 x + \ln x + \frac{e^{3}}{x} - 17$ （万元）.已知每件产品售价为 $6$ 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

(1)、写出年利润 $P (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

(2)、当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取 $e^{3} = 20$ ）.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ，其中 $a \geq 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个相异零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ .

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