上海市青浦区2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 3} ， A = {1 ， 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ .

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 5 (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $z$ 的模为.

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3. $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n}}{3^{n} + 1} =$ .

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4. 向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{11} ， | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} ， f^{- 1} (0) =$ .

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6. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{4} = 14$ ， $S_{7} = 70$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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7. 已知直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 1 + 0.8 t \\ y = 2 + 0.6 t \end{matrix}$ （t为参数），则它的普通方程是．

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8. 被 $50^{51} - 1$ 除7后的余数为

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9. 已知定义在 $R$ 上的增函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x) + f (4 - x) = 0$ ，若实数 $a ， b$ 满足不等式 $f (a) + f (b) \geq 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是．

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10. 安排5个党员（含小吴）去3个不同小区（含M小区）做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M小区，但是小吴不去M小区，则不同的安排方法数为.

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11. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = a b$ ，则 $a + \frac{b}{a} + \frac{64}{a b}$ 的最小值为.

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12. 如图， $△ A B C ⊥$ 平面 $α ， D$ 为 $A B$ 中点， $| A B | = 2$ ， $∠ C D B = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 为平面 $α$ 内动点，且 $P$ 到直线 $C D$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为.

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二、单选题

13. 有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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14. 已知直线 $l$ 平行于平面 $α$ ，平面 $β$ 垂直于平面 $α$ ，则以下关于直线 $l$ 与平面 $β$ 的位置关系的表述，正确的是（）

A、 $l$ 与 $β$ 不平行 B、 $l$ 与 $β$ 不相交 C、 $l$ 不在平面 $β$ 上 D、 $l$ 在 $β$ 上，与 $β$ 平行，与 $β$ 相交都有可能

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15. 若数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，只有有限个正整数 $m$ ，使得 $a_{m} < n$ 成立，记这样的 $m$ 的个数为 ${(a_{n})}^{*}$ ，则得到一悠闲的数列 ${{(a_{n})}^{*}}$ ，例如，若数列 ${a_{n}}$ 是1，2，3，…， $n$ ，…，则得数列 ${(a_{n})}^{*}$ 是0，1，2，…， $n - 1$ ，…，已知对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n} = n^{2}$ ，则 ${({(a_{2015})}^{*})}^{*} =$ （）

A、 $2014^{2}$ B、2014 C、 $2015^{2}$ D、2015

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16. 在平面上， $\vec{A B_{1}}$ ⊥ $\vec{A B_{2}}$ ，| $\vec{O B_{1}}$ |=| $\vec{O B_{2}}$ |=1， $\vec{A P}$ = $\vec{A B_{1}}$ + $\vec{A B_{2}}$ ．若| $\vec{O P}$ |＜ $\frac{1}{2}$ ，则| $\vec{O A}$ |的取值范围是（）

A、（0， $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ] B、（ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ] C、（ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ] D、（ $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ]

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三、解答题

17. 如图，设长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ，直线 $A_{1} C$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求三棱锥 $A - A_{1} B D$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小．

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ .

(1)、设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是 $y = f (x)$ 图象上的两点，直线 $A B$ 斜率 $k$ 存在，求证： $k > 0$ ；

(2)、求函数 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 4 m f (x) (m \in R)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值.

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19. 某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度 $y$ (单位：摄氏度)与时间t(单位：小时) $t \in [0 ， 20]$ 近似地满足函数关系 $y = | t - 13 | + \frac{b}{t + 2}$ ，其中 $b$ 为大棚内一天中保温时段的通风量.

(1)、当 $t \leq 13$ 时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到 ${0.1}^{\circ} C$ )；

(2)、若要保持一天中保温时段的最低温度不小于 $17^{\circ} C$ ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.

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20. 如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，左顶点为 $A (- 4 ， 0)$ ，经过点 $(2 ， 3)$ ，过点A作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知P为AD的中点， $Q (- 3 ， 0)$ ，证明：对于任意的 $k (k \neq 0)$ 都有 $O P ⊥ E Q$ 恒成立；

(3)、若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 $\frac{| A D | + | A E |}{| O M |}$ 的最小值.

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21. 已知有穷数列 $A ： a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ， $(n ⩾ 2)$ ．若数列 $A$ 中各项都是集合 ${x | - 1 < x < 1}$ 的元素，则称该数列为 $Γ$ 数列．对于 $Γ$ 数列 $A$ ，定义如下操作过程 $T$ ：从 $A$ 中任取两项 $a_{i}$ ， $a_{j}$ ，将 $\frac{a_{i} + a_{j}}{1 + a_{i} a_{j}}$ 的值添在 $A$ 的最后，然后删除 $a_{i}$ ， $a_{j}$ ，这样得到一个 $n - 1$ 项的新数列 $A_{1}$ （约定：一个数也视作数列）．若 $A_{1}$ 还是 $Γ$ 数列，可继续实施操作过程 $T$ ，得到的新数列记作 $A_{2}$ ， $\dots$ ，如此经过 $k$ 次操作后得到的新数列记作 $A_{k}$ ．

(1)、设 $A ： 0$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3} \dots$ 请写出 $A_{1}$ 的所有可能的结果；

(2)、求证：对于一个 $n$ 项的 $Γ$ 数列 $A$ 操作 $T$ 总可以进行 $n - 1$ 次；

(3)、设 $A ： - \frac{5}{7}$ ， $- \frac{1}{6}$ ， $- \frac{1}{5}$ ， $- \frac{1}{4}$ ， $\frac{5}{6}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{6} \dots$ 求 $A_{9}$ 的可能结果，并说明理由．

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