山东省泰安市与济南市章丘区2021届高三数学5月联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 3 < x < 5}$ ， $B = {y | y = 2 x, x \in A}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 1, A C = 5, \sin A = \frac{3}{5}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、3 B、±3 C、4 D、±4

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3. 函数 $f (x) = \cos x - \frac{1}{x}$ 的图像的切线斜率可能为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-2 C、 $- \frac{5}{3}$ D、-4

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4. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）

A、16天 B、17天 C、18天 D、19天

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5. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\frac{13}{9}$ 、 $\frac{56}{45}$ 、 $\frac{10}{7}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ ，则（）

A、 $e_{1} > e_{3} > e_{2}$ B、 $e_{2} > e_{1} > e_{3}$ C、 $e_{1} > e_{2} > e_{3}$ D、 $e_{2} > e_{3} > e_{1}$

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6. 下列各项中，是 ${(\sqrt{x y} - \frac{y}{x})}^{6}$ 的展开式的项为（）

A、15 B、 $- 20 x^{2}$ C、 $15 y^{4}$ D、 $- 20 y^{\frac{9}{2}}$

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7. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第 $x (1 ⩽ x ⩽ 7, x \in N)$ 天进店消费的人数为y ，且y与 $[\frac{5^{x}}{x^{2}}]$ ( $[t]$ 表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（）

A、74 B、76 C、78 D、80

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8. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为侧棱 $C C_{l}$ 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线 $B D$ 异面的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{13}{18}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、多选题

9. 若 $1 \leq x \leq 3 \leq y \leq 5$ ，则（）

A、 $4 \leq x + y \leq 8$ B、 $x + y + \frac{1}{x} + \frac{16}{y}$ 的最小值为10 C、 $- 2 \leq x - y \leq 0$ D、 $(x + \frac{1}{y}) (y + \frac{4}{x})$ 的最小值为9

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10. 已知函数 $f (x) = \tan x - \sin x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(π ， 0)$ 对称

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11. 已知曲线C的方程为 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = | x + 2 y |$ ，圆 $M : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则（）

A、C表示一条直线 B、当 $r = 4$ 时，C与圆M有3个公共点 C、当 $r = 2$ 时，存在圆N ，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点 D、当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 $(4, + \infty)$

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12. 如图，函数 $f (x)$ 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， $f (x)$ 的零点为 $- \frac{1}{2}$ ，则（）

A、函数 $g (x) = f (x) - f (4) \cdot \lg \frac{3}{2}$ 有3个零点 B、 $f (| x |) \geq \log_{8} 4$ 恒成立 C、函数 $h (x) = | f (x) | - \frac{f (4)}{4}$ 有4个零点 D、 $f (x + \frac{25}{12}) ⩾ f (x)$ 恒成立

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三、填空题

13. 写出一个虚数z ，使得 $z^{2} + 3$ 为纯虚数，则 $z =$ .

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，M为C左支上一点，N为线段 $M F_{2}$ 上一点，且 $| M N | = | M F_{1} |$ ，P为线段 $N F_{1}$ 的中点.若 $| F_{1} F_{2} | = 4 | O P |$ (O为坐标原点)，则C的渐近线方程为.

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15. 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

	A区	B区	C区	D区	E区
外来务工人员数	5000	4000	3500	3000	2500
留在当地的人数占比	80%	90%	80%	80%	84%

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.8135 x + \hat{a}$ .该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为万元.(参考数据：取 $0.8135 \times 36 = 29.29$ )

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16. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 $P A B$ 是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{6}$ ，求 $\cos 2 B$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 $p_{1}$ ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 $p_{2}$ ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 $\frac{199}{200}$ .

(1)、求该社区能举行4场音乐会的概率；

(2)、求该社区举行音乐会场数X的数学期望.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ , $(n^{2} + 1) a_{n + 1} = 2 [{(n - 1)}^{2} + 1] a_{n}$ ．.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分.
①设 $b_{n} = n^{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} ⩾ 2^{n + 1} - 2$ .

②设 $b_{n} = (n^{3} - 2 n^{2} + 2 n) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，以 $B C$ 为直径的圆O(O为圆心)过点A ，且 $A O = A C = A P = 2 ， P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，M为 $P C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $O A M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求二面角 $O - M D - C$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = m {(x + 1)}^{2} - 1 - 2 \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) ⩽ 0$ ，求m的取值范围.

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22. 已知F为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，直线 $l : y = 2 x + 1$ 与C交于A ， B两点且 $| A F | + | B F | = 20$ .

(1)、求C的方程.

(2)、若直线 $m : y = 2 x + t (t \neq 1)$ 与C交于M ， N两点，且 $A M$ 与 $B N$ 相交于点T ，证明：点T在定直线上.

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