河南省商丘市2020-2021学年高三下学期理数春季诊断性考试试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | | x | ⩽ 2}$ ， $B = {x | y = \ln (1 - x)}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 复数 $z = \frac{| 1 + \sqrt{3} i |}{3 + 4 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a = \log_{7} 8 ， b = 8^{- 0.7} ， c = \sin \frac{8 π}{7}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、a>c>b B、a>b>c C、b>a>c D、c>b>a

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4. 函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{\ln x}{x + 1}$ B、 $y = \frac{cos x}{x + 1}$ C、 $y = \frac{e^{x}}{x + 1}$ D、 $y = \frac{| x |}{x + 1}$

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5. 若直线 $l ： m x + n y + 3 = 0$ 始终平分圆 $C ： x^{2} - 2 x + y^{2} + 3 y - 1 = 0$ ，则 $2 m - 3 n =$ （）

A、﹣6 B、﹣3 C、3 D、6

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6. 某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价 $x$ (元)和销售额 $y$ (元)的数据，整理得到下面的散点图：

已知销售额 $y =$ 单价 $x \times$ 销量 $z$ ，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量 $z$ 与单价 $x$ 的回归方程类型的是（）

A、 $z = a + b x$ B、 $z = a + \frac{b}{x}$ C、 $z = a + b x^{2}$ D、 $z = a + b e^{x}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2} ， a_{3} + 2 ， a_{4}$ 依次成等差数列，则 $\log_{2} (a_{1} a_{2} \dots a_{10}) =$ （）

A、35 B、45 C、55 D、65

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8. 某场晚会上要表演6个文艺节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：甲节目不排在第一位和最后一位，丙､丁两个节目必须排在一起，则不同的节目编排方案种数为（）

A、96 B、108 C、120 D、144

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9. 已知正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 的棱长均为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 在棱 $A A_{1}$ 上运动，点 $Q$ 在底面 $A B C D E F$ 内运动， $P Q = \sqrt{2}$ ， $R$ 为 $P Q$ 的中点，则动点 $R$ 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} π}{24}$ B、 $\frac{\sqrt{2} π}{18}$ C、 $\frac{\sqrt{2} π}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$

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10. 函数 $f (x) = \sin (ω x + 2 φ) - 2 \sin φ \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in R)$ 在 $(π ， \frac{3 π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[1 ， 2]$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点P在双曲线C的右支上，过 $F_{2}$ 作与OP(点O为坐标原点)垂直的直线交线段 $F_{1} P$ 于点M，若满足 $| F_{1} M | = 2 | M P | = \frac{8 a}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 若关于 $x$ 的方程 ${(\ln x)}^{2} - a x | \ln x | + a x^{2} - x^{2} = 0$ 有4个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{e} ， 1) \cup (2 ， e)$ C、 $(1 ， \frac{1}{e} + 1)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 2)$

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二、填空题

13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最短棱长为.

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14. 将数列 ${2^{n}}$ 与 ${3 n + 1}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则其通项 $a_{n} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $\tan C = \frac{4}{3}$ ， $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且满足 $\vec{A H} = m \vec{A B} + n \vec{B C}$ ，则 $m + n =$ .

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16. 已知点P在抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 上，直线PA，PB与圆 $Q ： x^{2} + {(y - 3)}^{2} = m (m > 0)$ 相切于点A，B，且PA⊥PB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sin B + 4 \sqrt{3} \cos B = 0$ ， $a = 7$ ， $b = 8$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $B D ⊥ A B$ ，求 $△ B C D$ 的面积.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A Q = Q C$ ， $P A = P C = 2$ ， $B C = 1$ ， $P B = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ B Q$ ；

(2)、若 $B Q = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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19. 甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得3分，击中靶心以外的区域得1分，两人得分之和大于或等于6分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为 $\frac{1}{4}$ 且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.

(1)、求甲需要射击三次的概率.

(2)、比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.

(3)、求乙获胜的概率.

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦点为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴端点，且椭圆E的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $E$ 的左顶点，直线 $x - t y - m = 0 (t \in R ， m > 2)$ 与椭圆 $E$ 交于 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，直线 $A M ， A N$ 分别与直线 $x = \frac{4}{m}$ 交于 $P (x_{3} ， y_{3}) ， Q (x_{4} ， y_{4})$ 两点，求证： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$

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21. 已知函数 $f (x) = x + 1 - e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $g (x) = \frac{f (x)}{x (1 - e^{x})}$ ，分析 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性.

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin (θ - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求圆C的半径以及圆心的直角坐标；

(2)、若点P(x，y)在直线l上，且在圆C内部(不含边界)，求 $\sqrt{3} x + y$ 的取值范围．

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23. 已知 $a ， b ， c$ 均为正数，且满足 $a b c = 1.$ 证明：

(1)、 $a b + b c + c a ⩾ 3$ ；

(2)、 $a^{3} + b^{3} + c^{3} ⩾ a b + b c + a c$ ．

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