河北省2021届高三数学鸿浩超级联考试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {(x, y) | x - y = 0}, N = {(x, y) | y = x^{3}}$ ，则 $M \cap N$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知 $a, b \in R$ ， $\frac{a}{1 + i} + \frac{b}{1 - i} = 1$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 已知 $α, β$ 是两个不同的平面，m ， n是平面 $α$ 和 $β$ 之外的两条不同的直线，且 $α ⊥ β, n ⊥ β$ ，则“ $m / / n$ ”是“ $m / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则E的焦距等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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5. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， ∠ B A D = 60 °$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{B C} = \vec{b} ， \vec{C D} = \vec{c} ， \vec{D A} = \vec{d}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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6. 5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）

A、60 B、80 C、100 D、120

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7. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为 $| y | = (2 - \frac{1}{2} [\frac{2 x}{π}]) | sin ω x | (0 \leq x \leq 2 π)$ 其中记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数），且过点 $P (\frac{π}{4} ， 2)$ ，若葫芦曲线上一点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\frac{5 π}{3}$ ，则点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 ， \\ 3 - f (- x) ， x < 0 ， \end{array}$ 若函数 $y = f (f (x)) - a$ 有且只有1个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup [4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1) \cup [4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup [2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品.根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位：万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是（）

A、2020年的总销售额为1000万元 B、2月份的销售额为8万元 C、4季度销售额为280万元 D、12个月的销售额的中位数为90万元

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10. 已知 $a, b > 0, a + b = 1$ ，则（）

A、 $2^{a - b} > 2$ B、 $\log_{\frac{1}{2}} (a b) \geq 2$ C、 $a^{b} > {(2 - a)}^{b}$ D、 $a + b^{2} \geq \frac{3}{4}$

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11. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形 $A B C D$ 中，作它的内接正方形 $E F G H$ ，且使得 $∠ B E F = 15 °$ ；再作正方形 $E F G H$ 的内接正方形 $M N P Q$ ，且使得 $∠ F M N = 15 °$ ；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为 $a_{n}$ (其中第1个正方形 $A B C D$ 的边长为 $a_{1} = A B$ ，第2个正方形 $E F G H$ 的边长为 $a_{2} = E F$ ，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为 $S_{n}$ (其中第1个直角三角形 $A E H$ 的面积为 $S_{1}$ ，第2个直角三角形 $E Q M$ 的面积为 $S_{2}$ ，…)，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 B、 $S_{1} = \frac{1}{12}$ C、数列 ${S_{n}}$ 是公比为 $\frac{4}{9}$ 的等比数列 D、数列 ${S_{n}}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{1}{4}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上且不在x轴上的一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} b^{2}$ .设C的离心率为e， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | > 2 a$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = a b$ C、 $e \in [\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ D、 $\tan θ = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若 $0 < α < π$ ，点 $\begin{array}{l} P (1 - \tan^{2} \frac{π}{12}, 2 \tan \frac{π}{12}) \end{array}$ 在角 $α$ 的终边上，则角 $α =$ .(用弧度表示)

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x - 1} - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为.

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15. 光明中学为做到学校疫情防控常态化，切实保障学生的身体健康，组织1000名学生进行了一次“防疫知识测试”(满分100分).测试后，对学生的成绩进行统计和分析，结果如下：学生的平均成绩为 $\bar{x} = 80$ ，方差为 $s^{2} = {4.8}^{2}$ .学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ (其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}, σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，则估计获表彰的学生人数为.(四舍五入，保留整数)参考数据：随机变量Z服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则有 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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16. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，底面 $A B C$ 为正三角形，D是 $B C$ 的中点，若半径为1的球O与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的三个侧面以及上､下底面都相切，则 $B C =$ ；若直线 $A_{1} D$ 与球O的球面交于两点M ， N ，则 $M N =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{10} = 13, S_{11} = 66$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{1} = 1, a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n} = 1$ ，设 ▲ ，求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式.
在① $c_{n} = \frac{b_{n}}{n}$ ，② $c_{n} = \frac{b_{n} + 1}{n}$ ，③ $c_{n} = \frac{b_{n} - 1}{n} i$ 这3个条件中，任选一个解答上述问题.

注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

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18. 某市甲､乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额，推向国内外，创造更高的收益，准备从甲､乙两个企业中选取优质的产品，参加2021年的广交会.现从甲､乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测，得到质量指数如下表：

甲

90

89

93

87

91

乙

91

89

90

88

92

规定：质量指数在90以上(包括90)的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：

(1)、若从甲､乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品恰好都是甲企业的优质品的概率；

(2)、从乙企业的5件产品中随机取出1件，若为合格品则另放入1件优质品，直到取出的是优质品，求取得合格品次数X的分布列和期望；

(3)、若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是该市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $2 a - c = b \cos C$ .

(1)、求B；

(2)、如图，圆O是 $△ A B C$ 的外接圆，延长 $A O$ 交 $B C$ 于点H ，过圆心O作 $O G ⊥ O A$ 交 $B C$ 于点G ，且 $O G = \sqrt{3}$ .求 $O H$ 的长.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A D$ 为等腰直角三角形， $P A ⊥ P D$ ，E为 $B C$ 的中点，且 $P E = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $P D E ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (9 > 0)$ 的焦点为F ， C上一点G到F的距离为5，到直线 $x = - 1$ 的距离为5.

(1)、求C的方程；

(2)、过点F作与x轴不垂直的直线l与C交于A ， B两点，再过点A ， B分别作直线l的垂线，与x轴分别交于点P ， Q ，求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{k}{2} {(\ln x)}^{2} + \frac{\ln x + 1}{x} (k \in R)$ .

(1)、当 $k = 0$ 时，求证： $f (x) \leq 1$ ；

(2)、当 $k \neq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 零点的个数.

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甲	90	89	93	87	91
乙	91	89	90	88	92