贵州省盘州市2021届高三理数上学期第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | a x + y = 2}$ 和 $B = {(x ， y) | x - y = b}$ ，若 $(1 ， 1) \in A \cap B$ ，则 $a + b =$ （）

A、0 B、-1 C、1 D、2

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2. 在复平面内， $O$ 为原点，四边形 $O A B C$ 是复平面内的平行四边形，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，若 $z_{1} = 1$ ， $z_{3} = - 2 + i$ ，则 $z_{2} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 2020年1月17日，国家统计局发布了2019年全国居民人均消费支出及其构成的情况，并绘制了如图的饼图.根据饼图判断，下列说法不正确的是（）

A、 2019年居民在“生活用品及服务”上人均消费支出的占比为6% B、2019年居民人均消费支出为21350元 C、2019年居民在“教育文化娱乐”上人均消费支出小于这8项人均消费支出的平均数 D、2019年居民在“教育文化娱乐”、“生活用品及服务”、“衣着”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出

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4. 已知平面 $α$ ， $β$ 满足 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ，过平面 $α$ 和 $β$ 外的一点 $P$ 作直线 $m ⊥ l$ ，则“ $m / / α$ ”是“ $m ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减若 $f (- 2) = 1$ ，则满足 $| f (2 x) | \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前6项和为（）

A、127 B、255 C、31 D、63

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7. 已知双曲线 $E_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，若 $F$ 到直线 $a x - c y = 0$ 的距离为 $\frac{1}{2} c$ ，则 $E_{1}$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点为 $O$ ，始边为 $x$ 轴非负半轴，若点 $P (1 + \cos \frac{π}{9} ， \sin \frac{π}{9})$ 是角 $α$ 终边上的一点，则角 $α$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $2 k π + \frac{π}{18}$ ， $k \in Z$ C、 $2 k π + \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$ D、 $2 k π \pm \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，设 $A$ 和 $B$ 是 $C$ 上的两点，且 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，若 $| A B | = 6$ ，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的大小为（）

A、30° B、60° C、90° D、150°

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 (x - 1) ， x \leq 1 ， \\ | x - 2 | - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与 $g (x) = \log_{a} x (a > 1)$ 的图象有3个交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， e^{2})$ C、 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ D、 $(1 ， \sqrt{e})$

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12. 在数学中，若干有关联的曲线经过叠加或组合可以形成一些形状优美、寓意美好的曲线，如图的“心形”曲线 $C$ 恰好就是曲线 $C_{1} ： y = \sqrt{1 - {(| x | - 1)}^{2}}$ 和曲线 $C_{2} ： | x | = \cos y + 1 (- π \leq y \leq 0)$ 组合而成的，则曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积等于（）

A、 $\frac{11 π}{4}$ B、 $3 π$ C、 $\frac{13 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{2}$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq - 2 ， \\ x \leq 0 ， \\ y \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是.

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14. 小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”纪念邮票一套2枚，北京2008年奥运会纪念邮票一套5枚.现从这7枚邮票中随机抽取3枚，恰好有“冰墩墩”图案和“雪容融”图案这2枚的概率为.

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15. “垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列 $1 \times n$ ， $2 \times (n - 1)$ ， $3 \times (n - 2)$ ，…， $(n - 1) \times 2$ ， $n \times 1$ 的和，可设计一个正立的 $n$ 行三角数阵，即正三角形 $A$ 的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个 $n$ ，第2行为2个 $n - 1$ ，第3行为3个 $n - 2$ ，…，第 $n$ 行为 $n$ 个1；再选一个数列 ${n^{2}}$ （其前 $n$ 项和已知），可设计一个倒立的 $n$ 行三角数阵，即正三角形 $B$ 的区域中所有数的分布规律为：第1行为 $n$ 个 $n$ ，第2行为 $n - 1$ 个 $n - 1$ ，第3行为 $n - 2$ 个 $n - 2$ ，…，第 $n$ 行为1个1.这两个三角数阵就组成一个 $n$ 行 $n + 1$ 列的菱形数阵.若已知 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ，则运用垛积术，求得数列 $1 \times n$ ， $2 \times (n - 1)$ ， $3 \times (n - 2)$ ，…， $(n - 1) \times 2$ ， $n \times 1$ 的和为.

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ P D$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ，则异面直线 $P A$ 与 $C D$ 所成角的大小为；四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a \cos B = \sqrt{3} b \sin A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、已知 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 2$ ，延长 $B C$ 至 $D$ ，使得 $C D = 2 B C$ ，求 $A D$ .

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18. 如图，圆锥的顶点为 $S$ ， $A B$ 是底面圆 $O$ 的直径， $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的一点， $D$ 是 $A C$ 的中点，平面 $S O D \cap$ 平面 $S B C = l$ ， $S O = O A = 1$ .

(1)、求证： $l // B C$ ；

(2)、若 $l$ 与 $A B$ 所成的角为60°，求 $l$ 与平面 $S B D$ 所成角的正弦值.

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19. 某花店为了拓展业务范围，根据一些公司在店庆，开业等活动中的需要，推行了“发财树”和“元宝树”的出租业务.为了调查“发财树”和“元宝树”这两种树的出租情况，现随机抽取了这两种树各20盆，分别统计了每种树在4天中的出租天数和出租盆数（假设出租“发财树”与“元宝树”互不影响），并绘制成如下的条形图：

以这4天中的频率作为概率，解答以下问题：

(1)、估计该花店一盆“发财树”和一盆“元宝树”在这4天中合计出租天数恰好为3天的概率；

(2)、如果一盆“发财树”和一盆“元宝树”每天出租所获得的利润都为40元，那么，对于该花店“发财树和“元宝树”，哪一种出租平均获利较多？并说明你的理由.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴的下端点 $A$ 的坐标为 $(0 ， - 1)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $B$ ， $C$ 是椭圆 $E$ 上异于 $A$ 且不关于 $y$ 轴对称的两点， $| A B | = | A C |$ ， $B C$ 的中点为 $G$ ，求证：点 $G$ 在定直线上运动.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} - x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得当 $x \in (- \infty ， - \frac{2}{3}]$ 时， $f (x) \geq \frac{1}{3}$ 恒成立？若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 第三届中国国际进口博览会的建筑主体为“四叶草”造型，“四叶草”是绿色的有生命力的象征，其优美的曲线与江南地区海派文化的优雅唯美气质相应和，表达了中国对未来经济持续发展、人民生活富裕的美好向往；“四叶草”作为世界通用的吉祥图形，四瓣叶子分别寓意着“至爱、健康、荣誉、富裕”，整体带有吉祥、和谐的意义如图，在极坐标系 $O x$ 中，方程 $ρ = 1 + \cos 4 θ + \sin^{2} 4 θ$ 表示的图形为“四叶草”对应的曲线 $C$ .

(1)、设直线 $l ： θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ 与 $C$ 交于异于 $O$ 的两点 $A$ ， $B$ ，求 $A$ 、 $B$ 两点的极坐标；

(2)、设 $M$ 、 $N$ 是 $C$ 上异于 $O$ 的两点，求 $| M N |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x | \cdot | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若存在 $x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) + | x_{0}^{2} - 2 x_{0} | \leq m x_{0} - x_{0}^{2} - 1$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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