广东2021届高三数学5月卫冕联考试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2, 3}$

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2. 复数 $z = \frac{1 - i^{3}}{1 + 2 i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. “ $a < 8$ ”是“方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + a = 0$ 表示圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x e^{| x |} + x^{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 4 C D$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点， $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 核酸检测分析是用荧光定量 $P C R$ 法，通过化学物质的荧光信号，对在 $P C R$ 扩增进程中成指数级增加的靶标 $D N A$ 实时监测，在 $P C R$ 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时， $D N A$ 的数量 $X_{n}$ 与扩增次数 $n$ 满足 $\lg X_{n} = n \lg (1 + p) + \lg X_{0}$ ，其中 $p$ 为扩增效率， $X_{0}$ 为 $D N A$ 的初始数量.已知某被测标本 $D N A$ 扩增 $10$ 次后，数量变为原来的 $100$ 倍，那么该样本的扩增效率 $p$ 约为（）
(参考数据： $10^{0.2} \approx 1.585$ ， $10^{- 0.2} \approx 0.631$ )

A、0.369 B、0.415 C、0.585 D、0.631

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，M是C的渐近线上一点， $| F_{1} F_{2} | = | M F_{2} |$ ， $∠ F_{1} F_{2} M = 120 °$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (5) = 4$ ， $f (x + 3)$ 是偶函数，任意 $x_{1}, x_{2} \in [3, + \infty)$ 满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则不等式 $f (3 x - 1) < 4$ 的解集为（）

A、 $(\frac{2}{3}, 3)$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (2, + \infty)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(\frac{2}{3}, 2)$

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二、多选题

9. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.下图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是（）

A、2019年全年仓储业务量指数的极差为24% B、两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高 C、两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年 D、2019年仓储业务量指数的中位数为59%

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10. 已知 $\ln x > \ln y > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{x} > {(\frac{1}{3})}^{y}$ C、 $\log_{y} x > \log_{x} y$ D、 $x^{2} + \frac{4}{y (x - y)} \geq 8$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \cos^{2} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5}{12} π ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[1 ， 2]$ C、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2$ ，则 $x_{1} - x_{2} = 2 k π$ ， $k \in Z$ D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得 $g (x) = - 2 \cos 2 x$ 的图象

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12. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正三棱柱，且 $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $20 π$ B、若直线 $P B$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{7}}{7} ， \frac{1}{2}]$ C、若 $A_{1} P = 2$ ，则异面直线 $A P$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、若过 $B C$ 且与 $A P$ 垂直的截面 $α$ 与 $A P$ 交于点 $E$ ，则三棱锥 $P - B C E$ 的体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 二项式 $(x^{2} + 1) {(\frac{2}{\sqrt{x}} - 1)}^{7}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长 $l$ 与太阳天顶距 $θ (0 ° \leq θ \leq 80 °)$ 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度 $l$ 等于表高 $h$ 与太阳天顶距 $θ$ 正切值的乘积，即 $l = h \tan θ$ .若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ )，则 $\tan (θ_{1} - θ_{2}) =$ .

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 2} - 2 m, & x < 1 \\ 2 x^{3} - 6 x^{2}, & x \geq 1 \end{array}$ 有最小值，则 $m$ 的一个正整数取值可以为.

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16. 已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 是 $l$ 上一点，过点 $P$ 作 $P F$ 的垂线交 $x$ 轴的正半轴于点 $A$ ， $A F$ 交抛物线于点 $B$ ， $P B$ 与 $y$ 轴平行，则 $| F A | =$ .

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四、解答题

17. 在条件① $2 a + c = 2 b \cos C$ ， $\sin A = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，② $b \sin 2 A - a \sin A \cos C = \frac{1}{2} c \sin 2 A$ ， $a = \sqrt{7} b$ ，③ $(2 \tan B + \tan A) \sin A = 2 \tan B \tan A$ ， $2 c = 3 b$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = 3$ ， ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 20$ ， $S_{n} = 4 n^{2} + k n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{n} - b_{n - 1} = a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图所示，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥ B B_{1}$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $A B = B C = B B_{1} = 2 A_{1} B_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 120 °$ ，求平面 $A B_{1} C$ 和平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值 $m (m \in [100 ， 400])$ ，得到下图的频率分布直方图.并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值m

$150 \leq m < 350$

$100 \leq m < 150$ 或 $350 \leq m \leq 400$

等级

A级

B级

(1)、根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ ；

(2)、以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：
（i）从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A级零件的件数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

（ii）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，已知一个A级零件的利润是12元，一个B级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (4, 2)$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆C相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，当 $k_{1} k_{2}$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + m) - x e^{- x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - 2 y = 0$ 平行，求 $m$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(3)、当 $m > 1$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数.

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质量指标值m	$150 \leq m < 350$	$100 \leq m < 150$ 或 $350 \leq m \leq 400$
等级	A级	B级