甘肃省靖远县2021届高三理数高考考前全真模拟试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | y = \sqrt{2 x - x^{2}}}$ ， $B = {y | 1 \leq y \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[1, 2]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[2, 3]$

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2. 设复数 $z$ 满足 $| \bar{z} - 2 i | = 3$ ，且 $z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$ ，则（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 9$ C、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ D、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$

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3. 下图是我国2011—2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法错误的是（）

A、与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15% B、这10年中，载货汽车的同比增速有增有减 C、这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆 D、这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆

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4. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{8 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，则C的一条渐近线方程不可能为（）

A、 $y = \frac{\sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = - \frac{\sqrt{5}}{5} x$ C、 $y = - \sqrt{2} x$ D、 $y = \sqrt{5} x$

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5. 在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（）

A、9 B、18 C、20 D、24

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6. 函数 $g (x) = \frac{(x + 1) \lg | x |}{| x + 1 |}$ 的图象向右平移1个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示)，呈正棱台形，一般由四块梯形木和一块正方形木组成，其上口是一个正方形，下面是一个封口较小的正方形.现有一木升子(厚度忽略不计)，其上口周长为52cm，下口周长为40 cm，侧面等腰梯形腰长为8 cm，则该木升子的侧面积约为（）(结果精确到0.1cm² ，参考数据： $\sqrt{247} \approx 15.72$ )

A、90.4 cm² B、180.8 cm² C、361.6 cm² D、368.0 cm²

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 为线段 $B D$ 上的一动点，若 $\vec{A F} = x \vec{A E} + y \vec{D C} (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $\frac{2 - 3 x}{4 y^{2} + 1}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} + a x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线x+3y-1=0垂直.执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为20，则判断框中t的值可以为（）

A、 $\frac{19}{39}$ B、 $\frac{20}{41}$ C、 $\frac{21}{43}$ D、 $\frac{40}{41}$

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10. 函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 内单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $6$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P B} = 2 \vec{B F}$ ，则弦 $A B$ 的中点 $E$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{13}{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{25}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2^{x}} + 1 (x > 0) \\ 2 x^{2} + 4 x + 2 (x \leq 0) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (f (x) - m) - 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $g (x)$ 没有零点，则 $m \leq 0$ B、当 $m = 2$ 时， $g (x)$ 恰有1个零点 C、当 $g (x)$ 恰有2个零点时， $m$ 的取值范围为 $(0 ， 1]$ D、当 $g (x)$ 恰有3个零点时， $m$ 的取值范围为 $(1 ， 3] \cup {4}$

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二、填空题

13. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{2 \cos^{2} α - \sin^{2} α}$ 的值为.

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14. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 2 a_{1} + 2$ ， $a_{5} = 4 a_{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 中不超过2021的所有项的和为.

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15. 疫情防控期间，某中学从9位(包含甲､乙､丙､丁)行政人员中选出6人负责某月1日到6日的学生体温情况统计工作，每人各1天，其中甲､乙､丙､丁四人必须选中，且甲､乙两人不能安排在相邻的两天，丙､丁两人也不能安排在相邻的两天，则不同的安排方法共有种(用数字作答).

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，E，F分别为线段AB，BC上的点，且BE= $\frac{3}{5}$ AB，FC=2BF.则平面 $E F C_{1}$ 截该正方体的面 $A D D_{1} A_{1}$ 所得的线段的长度为.

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ 且 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin A \sin C + \sin B) \sin B = \sin^{2} A$ $+ \sin^{2} C$

(1)、求B；

(2)、已知 $a - c = 2, b = 2 \sqrt{3},$ 求 $\sin (A - C)$ 的值.

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18. 在四棱锥P-ABCD中，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD， $△ P A D$ 为等边三角形，底面ABCD为菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，O为AD的中点.

(1)、试在线段BP上找一点E，使 $O E / /$ 平面PCD，并说明理由；

(2)、求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

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19. 随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码x	1	2	3	4	5
使用扫码支付的人次y(单位：万人)

(1)、观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：

y = c +

d \ln x

，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设

ω = \ln x

，利用

ω

与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；

(2)、为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有

\frac{1}{8}

的概率享受8折优惠，有

\frac{3}{8}

的概率享受9折优惠，有

\frac{1}{2}

的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.

（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；

（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？

附：最小二乘法估计公式：经过点 $(t_{1}, y_{1}), (t_{2}, y_{2}), (t_{3}, y_{3}), \dots, (t_{n}, y_{n})$ 的回归直线为 $\hat{y} =$ $\hat{b} \cdot t + \dot{a}, \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \bar{t} \cdot \bar{y}}{\sum_{k = 1}^{n} t_{i}^{2} - n t^{2}}, \dot{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{t}$ 相关数据： $\bar{ω} \approx 0.96, \sum_{i = 1}^{5} ω_{i}^{2} \approx$ $6.2, \sum_{i = 1}^{5} ω_{i} y_{i} \approx 86, \ln 6 \approx 1.8$ (其中 $ω = \ln x)$ .

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A (\sqrt{6}, 0)$ 在椭圆C上，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 3$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、椭圆C上的两点P，Q关于原点O对称，点R在椭圆C上，且直线PR与圆 $O : x^{2} + y^{2} =$ 2相切，问： $\frac{| P R |}{| Q R |}$ 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = m (x - 2) - \ln (x - 1)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 2$ 时， $f (x) \leq m {(x - 2)}^{2}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{t^{2} + 1}{2 t} \\ y = \frac{t^{2} - 1}{2 t} \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求C的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)、若C与 $x$ 轴的正半轴交于点 $P$ ， $C$ 与 $l$ 交于点 $Q$ ，求以线段 $P Q$ 为直径的圆的标准方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 6 | - | x - 8 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) > 1$ ；

(2)、记 $f (x)$ 的最大值为t，若 $| m | < t, | n | < t$ ，求证： $| \frac{m n + 4}{m + n} | > 2$ .

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