安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期理数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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2. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x}}$ ， $B = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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3. 某商场2020年部分月份销售金额如下表：

月份x

2

4

6

8

10

销售金额y(单位：万元)

64

132

a

286

368

若用最小二乘法求得回归直线方程为 $\hat{y} = 38.1 x - 17.6$ ，则 $a =$ （）

A、198.2 B、205 C、211 D、213.5

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $3 S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、32 B、 $\frac{1}{32}$ C、 $- \frac{1}{16}$ D、-16

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5. 已知 $F$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆 $E$ 上一点 $P (2 ， 1)$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，若 $△ P Q F$ 的周长为 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ .则 $a - b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：

级数	全年应纳税所得额所在区间	税率(%)	速算扣除数
1	$[0 ， 36000]$	3	0
2	$(36000 ， 144000]$	10	2520
3	$(144000 ， 300000]$	20	16920
4	$(300000 ， 420000]$	25	31920
5	$(420000 ， 660000]$	30	52920

若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（）

A、5712元 B、8232元 C、11712元 D、33000元

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = \vec{E B}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $- \frac{7}{6}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $- \frac{16}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \log_{2} (x + \frac{1}{2}) | ， & x > 0 \\ \sqrt{- x} ， & x \leq 0 \end{matrix}$ .若 $x \in (- 4 ， \frac{1}{2})$ 时，方程 $f (x + 1) = k$ 有唯一解，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \sqrt{3})$ B、 $[1， \sqrt{3})$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[1 ， 2)$

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9. 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马” $P - A B C D$ ， $P A = A B = A D$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $P D$ 的中点.以下四个结论：
① $P B ⊥$ 平面 $A E F$ ；

② $E F ⊥$ 平面 $P A C$ ；

③平面 $P B D ⊥$ 平面 $A E F$ ：

④平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ .

其中正确的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a \sin A + 2 c \sin C = 2 b \sin C \cos A$ ，则角 $A$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，曲线C上一点P到 $x$ 轴的距离为 $2 a$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、4

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12. 若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{24}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $3 x - 2 y$ 的最小值为.

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14. 若函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + 4 y - 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值等于.

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15. 在 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的偶次项系数之和是.

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16. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日(星期五)是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.

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三、解答题

17. 某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A､B､C三道工序，三道工序相互独立.工序A的加工成本为70元/件，合格率为 $\frac{7}{8}$ ，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为 $\frac{6}{7}$ ，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为 $\frac{5}{6}$ .每道工序后产生的不合格品均为废品.

(1)、求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；

(2)、已知坯件加工成本为A､B､C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $φ$ 的终边与单位圆的交点为 $A$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ 与 $x$ 轴正半轴的交点是 $P_{0}$ .若圆 $C$ 上一动点从 $P_{0}$ 开始，以 $π rad / s$ 的角速度逆时针做圆周运动， $t$ 秒后到达点 $P$ .设 $f (t) = {| A P |}^{2}$ .

(1)、若 $φ = \frac{π}{3}$ 且 $t \in (0 ， 2)$ ，求函数 $f (t)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (\frac{1}{3}) = 2$ ， $\frac{π}{3} < φ < \frac{5 π}{6}$ ，求 $f (\frac{5}{6})$ .

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A D$ ， $C D$ 的中点.以 $E F$ 为折痕把 $△ D E F$ 折起，使点 $D$ 到达点 $P$ 的位置， $G$ 为线段 $P B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $G A C //$ 平面 $P E F$ ；

(2)、若平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B C F E$ ，求直线 $A G$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知 $F$ 是抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，直线 $l$ ： $y = k (x - m) (m > 0)$ 与抛物线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与抛物线 $E$ 的准线交于点 $N$ ．

(1)、若 $k = 1$ 时， $| A B | = 4 \sqrt{2 m + 2}$ ，求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在常数 $k$ ，对于任意的正数 $m$ ，都有 $| F A | \cdot | F B | = {| F N |}^{2}$ ？若存在，求出 $k$ 的值：若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} + 1$ 有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} < \frac{1}{e^{4}}$ ( $e$ 为自然对数的底数).

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos 2 β \\ y = \frac{\tan β}{1 + \tan^{2} β} \end{array}$ ( $β$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $M$ ， $N$ 为曲线 $C$ 上两点，且满足 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，求 $\frac{1}{{| O M |}^{2}} - \frac{1}{{| O N |}^{2}}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 a | - 2 | x + a |$ .

(1)、若 $f (1) \geq 1$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若对任意 $x \in R$ ， $f (x^{2}) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值.

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月份x	2	4	6	8	10
销售金额y(单位：万元)	64	132	a	286	368