山西省孝义市2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算：（-2）×3的结果是（　　）

A、-6 B、-1 C、1 D、6

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2$ D、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} = 4$

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3. 下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（）

A、调查孝义市民平均每日废弃的口罩数量 B、调查孝义市各中小学生“春节期间”去往新冠肺炎高风险地区的情况 C、调查孝义市各大药店销售的防护口罩的合格率 D、调查孝义市各中小学生对防护新冠肺炎知识的了解程度

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4. 榫卯是指在木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，各构件之间通过榫卯连接在一起，构成富有弹性而结实的建筑框架．图1所示就是一组榫卯构件，若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，将含有30度的直角三角尺GEF（∠F=30°）的直角顶点E放到矩形ABCD的边BC上，若∠1=55°，则∠2的度数是（）

A、25° B、30° C、35° D、40°

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6. 一次函数 $y = (m - 2) x + m + 3$ 的图象如图所示，则m的取值范围是（）

A、m＞2 B、m＜2 C、2＜m＜3 D、-3＜m＜2

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7. 如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD ，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S ，则鱼尾（△DEF）的面积为（）

A、 $\sqrt{S}$ B、 $\sqrt{2} S$ C、 $\frac{1}{4} S$ D、 $\frac{1}{2} S$

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8. 如图，△ABC内接于⊙O ， ∠ACB=45°，直线AD与⊙O相切，则cos∠BAD=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9. 如果分式 $\frac{A}{x - 2} + \frac{4}{2 - x}$ 化简后的结果是 $x + 2$ ，则A表示的整式（）

A、 $x^{2}$ B、 $x^{2} + 4 x + 8$ C、 $x^{2} - 8$ D、 $- x^{2}$

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10. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 因式分解： $x (x - 4) + 4$ = ．

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12. 图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE ，支架AC与AB的夹角为115°，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE ．现已知AB=2.50米，CA=1.30米，则篮筐DP距离地面的高度为米．（精确到0.01米．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

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13. 为了纪念中国共产党成立100周年，某校开展“传承红色基因，讲好中国故事”演讲比赛活动，参赛者在“学史明理”“学史增信”“学史崇德”“学史力行”四个主题中随机抽取其中的一个主题进行演讲．小明和小李都报名参加了本次比赛，则小明和小李抽中同一个主题的概率是．

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14. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R ，圆内接正n边形的边长、面积分别为a_n ， S_n ，圆内接正2n边形边长、面积分别为a_2n ， S_2n ．刘徽用以下公式求出a_2n和S_2n ． $a_{2 n} = \sqrt{{(\frac{1}{2} a_{n})}^{2} + {(R - \sqrt{R^{2} - {(\frac{1}{2} a_{n})}^{2}})}^{2}}$ ， $S_{2 n} = \frac{1}{2} n a_{n} R$ ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为．

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15. 如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，AE⊥CD ，垂足为E ， AE=2CE ．若AC=6，BC=8，则CD的长度为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $8 \times (- \frac{1}{2}) - 3 \times (- 2) + {(- 3)}^{2} - | - 2 |$ ；

(2)、解方程： $\frac{2}{3 x - 1} - \frac{3 x}{6 x - 2} = 1$ ．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC ．

(1)、动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN ， MN分别与AB交于点D ，与BC交于点E ．

②过点B作BF垂直于AE ，垂足为F ．

(2)、推理证明：求证AC=BF ．

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18. 如图，矩形ABCD的顶点B ， C都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，对角线BD $//$ x轴，并且交y轴于点E（0，3），点E为BD的中点，A的坐标为（- $\sqrt{3}$ ，0）．

(1)、求出反比例函数的解析式；

(2)、矩形ABCD的面积为．（直接写出答案即可）

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19. “十三五”期间，我国新能源汽车的产销量快速增长，2015年以来连续五年位居全球第一．图1是“2015年—2020年我国公共充电桩保有量与上一年同期增长率”情况，图2是“2020年我国公共充电桩占有量排名前十的企业”情况．

请认真阅读上述统计图，解决下列问题：

(1)、2020年我国公共充电桩保有量与2019年同期相比的增长率是；（精确到0.1%）；2020年我国公共充电桩市场占有量排名前十的企业中，市场占有量的中位数是万台；（精确到0.1）

(2)、请你从不同的角度，对2015年到2020年公共充电桩的变化情况进行简要分析．

(3)、下面是太原市某充电站充电费用价格表：

充电形式

充电费用

服务费

快充

0.8元/kW·h

0.45元/ kW·h

慢充

0.3元/kW·h

0.45元/ kW·h

出租车司机小李想用快充和慢充相结合的方式给自己的汽车充电，充电量为30kW·h，若要使此次充电的总费用不超过325元，则小李用快充形式最多充电多少kW·h？（注：充电总费用=充电费+服务费）

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20. 阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．

如图，在△ABC中，AD ， BE分别是BC ， AC边上的高，且AD与BE相交于点P ．连接CP并延长，交AB于点F ．

求证：CF⊥AB ．

证明：分别过点A ， B ， C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M ， N ， Q ．分别连接PM ， PN ， PQ ．

∵MN $//$ BC ， MQ $//$ AB ， NQ $//$ AC ，

∴四边形MABC ，四边形ANBC ，四边形ABQC都是平行四边形．

∴BC=AM=AN ， AC=BN=BQ ， AB=MC=CQ ．

∵AD⊥BC ，

∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN ．

∴PM=PN ．

…

学习任务：

(1)、请将上面剩余的证明过程补充完整；

(2)、点P是△MNQ的．（填出字母代号即可）

A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心

(3)、若∠CAB=40°，则∠MPN=°．

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21. 2020年12月25日，太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成．

图1

(1)、求原计划每天铺设轨道多少米？

(2)、图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的 $\frac{33}{25}$ ．求镶上的木质框架的宽为多少米？

图2

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22. 综合与实践
数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．

探究展示：

“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE ．求证：AE⊥CE ． ”并展示了如下的证明方法：

证明：如图3，分别连接AC ， BD ， EF ， AF ．设AC与BD相交于点O ．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OC= $\frac{1}{2}$ AC ， OB=OD= $\frac{1}{2}$ BD ，且AC=BD ．

又∵四边形BEDF是矩形，

∴EF经过点O ，

∴OE=OF= $\frac{1}{2}$ EF ，且EF=BD ．

∴OE=OF ， OA=OC ．

∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）

∵AC=BD ， EF=BD ，

∴AC=EF ．

∴四边形AECF是矩形．（依据2）

∴∠CEA=90°，

即AE⊥CE ．

(1)、反思交流：
上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？

(2)、拓展再探：
“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE ， FB交于点P ，求证：EB=PB ． ”请你帮助他们写出该问题的证明过程．

(3)、“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE= $\sqrt{3} - 1$ ，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．

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23. 如图，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{9}{4} x + 3$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D ．直线PD与x轴交于E ，与y轴交于点F ．点P的横坐标为m ．

(1)、求点A ， B ， C的坐标及直线BC的函数关系表达式；

(2)、当CE平分∠OCB时，求出点F的坐标；

(3)、是否存在点P ，使得△CFP是等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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充电形式	充电费用	服务费
快充	0.8元/kW·h	0.45元/ kW·h
慢充	0.3元/kW·h	0.45元/ kW·h