河北省石家庄市长安区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在数轴上标出下列各式的值所对应的点，其中落在原点左侧的是（）

A、 $| - 2 |$ B、 ${(- 2)}^{2}$ C、 $- (- 2)$ D、 $- (+ 2)$

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3. 如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）

A、5 B、6 C、8 D、12

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4. 中国互联网络信息中心统计报告显示，截至2020年12月，我国网民人数达9.89亿，将9.89亿用科学记数法表示为 $a \times 10^{n}$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 如图， $A B // C D$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上， $D E = E C$ ，若 $∠ B = 35 °$ ，则 $∠ B E D =$ （）

A、70° B、145° C、110° D、140°

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6. 若 $\underset{m 个 2}{\underset{︸}{2 \times 2 \times 2 \times \cdot \cdot \cdot \times 2}} = 4^{3}$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、8

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7. 如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点 $A$ ， $B$ 分别为两岸上一点，且点 $B$ 在点 $A$ 正北方向，由点 $A$ 向正东方向走 $a$ 米到达点 $C$ ，此时测得点 $B$ 在点 $C$ 的北偏西55°方向上，则河宽 $A B$ 的长为（）

A、 $a \tan 55 °$ 米 B、 $\frac{a}{\cos 55 °}$ 米 C、 $\frac{a}{\tan 35 °}$ 米 D、 $\frac{a}{\tan 55 °}$ 米

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A G$ 平分 $∠ C A B$ ，使用尺规作射线 $C D$ ，与 $A G$ 交于点 $E$ ，下列判断正确的是（）

A、 $A G$ 平分 $C D$ B、 $∠ A E D = ∠ A D E$ C、点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心 D、点 $E$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的距离相等

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9. 亮亮在解一元二次方程： $x^{2} - 6 x +$ □ $= 0$ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）

A、1 B、0 C、7 D、9

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10. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙$ O上， $∠ A B C = 28 °$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $O A$ 的延长线于点 $D$ ，则 $∠ D =$ （）

A、30° B、56° C、28° D、34°

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11. 观察佳佳计算 $\frac{x - 3}{x^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x}$ 的过程：
$\frac{x - 3}{x^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x}$

＝ $\frac{x - 3}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2}$ 　　       ①

＝ $\frac{x - 3}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$     ②

＝ $x - 3 - x - 2$                     ③

＝ $- 5$                             ④

则下列说法正确的是（    ）

A、运算完全正确 B、第①②两步都有错 C、只有第③步有错 D、第②③两步都有错

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $B C = D C$ ， $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ .添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）

A、添加“ $A B // C D$ ”，则四边形 $A B C D$ 是菱形 B、添加“ $∠ B A D = 90 °$ ”，则四边形 $A B C D$ 是矩形 C、添加“ $O A = O C$ ”，则四边形 $A B C D$ 是菱形 D、添加“ $∠ A B C = ∠ B C D = 90 °$ ”，则四边形 $A B C D$ 是正方形

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13. 若某一样本的方差为 $s^{2} = \frac{1}{5} [{(5 - 7)}^{2} + {(7 - 7)}^{2} + {(8 - 7)}^{2} + {(x - 7)}^{2} + {(y - 7)}^{2}]$ ，样本容量为5．则下列说法：①当 $x = 9$ 时， $y = 6$ ；②该样本的平均数为7；③ $x$ ， $y$ 的平均数是7；④该样本的方差与 $x$ ， $y$ 的值无关．其中错误的是（）

A、①② B、②④ C、①③ D、③④

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $A$ 旋转至 $B C$ 边上的点 $A^{'}$ 处，点 $C$ 的对应点为点 $C^{'}$ ， $C^{'} A^{'}$ 的延长线恰好经过点 $A$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{5} - 3$ B、 $\frac{5 \sqrt{5} + 5}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$

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15. 如图，在平面直角坐标系中，多边形 $O A B C D E$ 的顶点坐标分别是 $O (0 ， 0)$ ， $A (0 ， 6)$ ， $B (4 ， 6)$ ， $C (4 ， a)$ ， $D (6 ， a)$ 和 $E (6 ， 0)$ ．若直线 $l ： y = - \frac{1}{3} x + \frac{15}{4}$ 将多边形 $O A B C D E$ 分割成面积相等的两部分，则 $a =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{11}{3}$ C、4 D、3

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16. 把图1中周长为 $32cm$ 的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片1、2、3、4和一张长方形纸片5，并将它们按图2的方式放入周长为 $48cm$ 的长方形中，则没有被覆盖的阴影部分的周长为（）

A、 $12cm$ B、 $16cm$ C、 $30cm$ D、 $40cm$

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二、填空题

17. 已知 $\sqrt{a} = 3$ ，则 $a$ 的值为．

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18. 如图，正方形 $A B C D$ 和正六边形 $A E F C G H$ 均内接于 $⊙ O$ ，连接 $H D$ ；若线段 $H D$ 恰好是 $⊙ O$ 的一个内接正 $n$ 边形的一条边，则 $n =$ ．

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19. 如图，点 $A (m ， 6)$ ， $B (n ， 1)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $D C = 5$ ．

(1)、 $k$ 的值为；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 最小，则点 $P$ 的坐标为；

(3)、在 $y$ 轴上找一点 $Q$ ，使 $Q B - Q A$ 最大，则点 $Q$ 的坐标为．

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三、解答题

20. 已知关于x的二次三项式 $A$ 满足 $A - (x - 1) (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$ .

(1)、求整式 $A$ ；

(2)、若 $B = 3 x^{2} + 4 x + 2$ ，当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，求 $B - A$ 的值．

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21. 嘉嘉和琪琪用图中的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按 $A \to B \to C \to D$ 的顺序运算，则琪琪列式计算得： ${[(2 + 3) \times (- 3) - 2]}^{2} = {(- 15 - 2)}^{2} = {(- 17)}^{2} = 289$ ．

(1)、嘉落说-2，对-2按 $C \to A \to D \to B$ 的顺序运算，请列式并计算结果；

(2)、嘉嘉说 $x$ ，对 $x$ 按 $C \to B \to D \to A$ 的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求 $x$ ．

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22. 某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为 $A ： 60 \leq x < 70$ ， $B ： 70 \leq x < 80$ ， $C ： 80 \leq x < 90$ ， $D ： 90 \leq x < 100$ 四个等级，绘制成如图1所示的不完整的频数分布直方图和图2的扇形统计图，请根据以上信息回答下列问题：

(1)、参赛学生共人，并将频数分布直方图补充完整；

(2)、本次竞赛成绩的中位数落在等级（填 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ）；

(3)、成绩在“ $D$ 等级”学生中，男生比女生多2人，学校从“ $D$ 等级”学生中随机选取两人代表学校参加全市法制知识竞赛，请用列表或画树状图的方法求选中女生的概率．

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $B E F G$ 有公共顶点 $B$ ，且顶点 $A$ ， $G$ ， $F$ 三点共线，顶点 $C$ ， $F$ ， $E$ 三点共线， $D M ⊥ A G$ 于点 $M$ ， $A B = 15$ ， $B E = 9$ ．

(1)、求证： $△ A B G ≌ △ D A M$ ；

(2)、连接 $D G$ ，求 $D G$ 的长；

(3)、直接写出 $△ A B H$ 与 $△ C F H$ 的面积差．

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24. 某商店销售 $A$ 、 $B$ 两种型号的打印机，销售5台 $A$ 型和10台 $B$ 型打印机的利润和为2000元，销售10台 $A$ 型和5台 $B$ 型打印机的利润和为1600元．

(1)、求每台 $A$ 型和 $B$ 型打印机的销售利润；

(2)、商店计划购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的打印机共100台，其中 $A$ 型打印机数量不少于 $B$ 型打印机数量的一半.设购进 $A$ 型打印机 $a$ 台，这100台打印机的销售总利润为 $w$ 元，求该商店购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大?

(3)、在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将 $A$ 型打印机的出厂价下调 $m$ 元 $(0 < m < 100)$ ，但限定商店最多购进 $A$ 型打印机50台，且 $A$ 、 $B$ 两种型号的打印机的销售价均不变，请直接写出商店销售这100台打印机总利润最大的进货方案．

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25. 如图1和图2，点 $A$ 在数轴上对应的数为16，过原点 $O$ 在数轴的上方作射线 $O B$ ，且 $\tan ∠ A O B = \frac{4}{3}$ .点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点 $O$ 运动，同时点 $F$ 从点 $O$ 出发，沿 $O B$ 方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点 $E$ 到达点 $O$ 时，点 $E$ ， $F$ 都停止运动.以点 $F$ 为圆心， $O F$ 为半径的半圆与数轴正半轴交于点 $C$ ，与射线 $O B$ 交于点 $D$ ，连接 $D E$ ，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ，点 $E$ 在数轴上对应的数为x．

(1)、用含t的式子表示 $O C$ 的长为，当点 $E$ 与点 $C$ 重合时， $x =$ ；

(2)、若 $D E$ 与半圆 $F$ 相切，求x；

(3)、如图2，当 $t = \frac{10}{3}$ 时，半圆 $F$ 与 $D E$ 的另一个交点为 $G$ ，求 $∠ O E D$ 的度数及 $\overset{⌢}{C G}$ 的长；

(4)、若半圆 $F$ 与线段 $D E$ 只有一个公共点，直接写出 $x$ 的取值范围．

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26. 如图已知抛物线 $L ： y = a x^{2} - 4 a x - 3$ （ $a$ 为常数且 $a > 0$ ）的顶点为 $P$ ， $L$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $C D ⊥ y$ 轴并交 $L$ 于点 $D$ ．

(1)、点 $D$ 的坐标是，点 $P$ 的坐标是（用含 $a$ 的式子表示）；

(2)、将 $L$ 向右平移 $2 a$ 个单位长度，得到抛物线 $L^{'}$ ．
①设 $L^{'}$ 的顶点坐标为 $(x ， y)$ ，用含 $a$ 的式子分别表示 $L^{'}$ 的顶点横坐标 $x$ 和顶点纵坐标 $y$ ；

②求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、设（2）②中得到的 $y$ 与 $x$ 的函数图象为 $G$ ，若 $L$ 与 $G$ 交于点 $K$ ，直接写出点 $K$ 的纵坐标 $y_{k}$ 的取值范围．

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