重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\sin 2 α < 0$ ，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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2. 设 $m \in R$ ，i为虚数单位，且 $\frac{2}{1 - i} + (1 + m i)$ 是实数，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、-1

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3. 已知随机变量X服从正态分布 $N (6, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (X > 3) =0 .8$ ，则 $P (3 < x < 9) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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4. 已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $x - 3 > \ln x$ ，命题 $q : \forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ，则（）

A、 $p \lor q$ 是假命题 B、 $p \land q$ 是真命题 C、 $p \land (\neg q)$ 是真命题 D、 $p \lor (\neg q)$ 是假命题

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若 ${\vec{P F_{2}}}^{2} = \vec{P F_{2}} \cdot \vec{Q F_{2}}$ ，且 $△ P Q F_{2}$ 的周长为 $12 a$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 函数 $y = x \sin x - x^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 京剧脸谱，是一种具有中国文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌､奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱”.脸谱的主要特点有三点：美与丑的矛盾统一，与角色的性格关系密切，其图案是程式化的.在京剧中，并不是每个人物都要勾画脸谱，脸谱的勾画要按照人物角色的分类来进行.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种，其中“净”和“丑”需要画脸谱，“生”“旦”只略施脂粉，俗称“素面”.现有男生甲､乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动，其中女生丙想扮旦角，男生甲想体验画脸谱的角色，若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个，则甲､丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{13}{16}$

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8. 已知曲线 $C_{1} ： f (x) {=e}^{x} + a$ 和曲线 $C_{2} ： g (x) = \ln (x + b) + a^{2} (a ， b \in R)$ ，若存在斜率为1的直线与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 同时相切，则b的取值范围是（）

A、 $[- \frac{9}{4} ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$

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二、多选题

9. 已知全集U的两个非空真子集A，B满足 $(∁_{U} A) \cup B = B$ ，则下列关系一定正确的是（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cap B = B$ C、 $A \cup B = U$ D、 $(∁_{U} B) \cup A = A$

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10. 设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（）

A、该正方体的棱长为2 B、该正方体的体对角线长为 $3 + \sqrt{3}$ C、空心球的内球半径为 $\sqrt{3} - 1$ D、空心球的外球表面积为 $(12 + 6 \sqrt{3}) π$

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11. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a^{\frac{3}{5}} > b^{\frac{3}{5}}$ B、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ C、 $\log_{3} a > \log_{2} b$ D、 $\frac{1 + 4^{a}}{1 - 4^{a}} > \frac{1 + 4^{b}}{1 - 4^{b}}$

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12. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项之积为 $T_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} & 0 < a_{n} \leq 1 \\ \frac{1}{a_{n}} & a_{n} > 1 \end{array} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、当 $n \geq 2$ 时， $0 < a_{n} \leq 2$ B、当 $\frac{1}{2} < a_{1} < 1$ 时， $T_{4 n} = 1$ C、无论 $a_{1}$ 取何值，均存在 $λ \in N^{*}$ 使得 $a_{n + λ} = a_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立 D、无论 $a_{1}$ 取何值，数列 ${a_{n}}$ 中均存在与 $a_{1}$ 的数值相同的另一项

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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14. 若 ${(\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中存在非零常数项，则正整数n的最小值为.

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15. 若将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则 $ω$ 的最小值为.

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16. 如图，半圆O的直径 $A B = 2$ ，C为圆弧上的动点(异于A，B两点)，点M，N分别在以线段AC，BC为直径的半圆弧上运动，则 $\vec{M N} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{7} = - 2$ ， $S_{5} = 30$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = (12 - a_{n}) \sqrt{2^{10 - a_{n}}}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求证： $T_{n} < 2 b_{n}$ .

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18. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $B C C_{1} B_{1}$ 均为正方形，二面角 $A - B B_{1} - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求证： $B B_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、求异面直线 $A_{1} C$ 与 $A B_{1}$ 所成角的余弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c \sin (A + \frac{π}{6}) = \frac{a + b}{2}$ .

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} c$ ，求c的最小值.

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20. 近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y(单位：元)与当天揽收的快递件数x(单位：千件)之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量

x_{i}

(单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本

y_{i}

(单位；元)(i=1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$
4	5.16	0.415	-13.2	2.028	30	0.507

表中 $w_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ， $\bar{w} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} w_{i}$ .

(1)、根据散点图判断，

y = a + b x

与

y = c + \frac{d}{x}

哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程；

(2)、各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x(单位：千件)与单件快递的平均价格t(单位；元)之间的关系是

x = 25 - 2 t (5 \leq t \leq 12)

，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：

①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；

②单件快递的平均价格 $t$ 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，…， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

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21. 已知圆 $E ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 和点 $F (1 ， 0)$ ，动圆 $M$ 经过点 $F$ ，且与圆 $E$ 内切.

(1)、求动圆的圆心 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P (4 ， t) (t \neq 0)$ 关于点 $F$ 的对称点为 $P^{'}$ ，直线 $P^{'} E$ 与轨迹 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $△ A B P$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ，求 $t$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + \sin x$ (其中 $e = 2.71828$ …为自然对数的底数).

(1)、求证：当 $x \in [- 1 ， + \infty)$ 时， $f (x) > - \frac{1}{2}$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq a x + 1$ 对 $\forall x \in R$ 成立，求实数a的值.

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