安徽省合肥市长丰县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2021的绝对值等于（）

A、2021 B、-2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列各式，计算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ B、 ${(a^{4})}^{2} = a^{6}$ C、 $a^{4} \div a^{2} = a^{2}$ D、 $a^{4} + a^{2} = 2 a^{6}$

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3. 由功夫明星吴京自导自演的军事体裁动作大片《战狼2》于2017年7月27日起在全国各大影院同期放映，激发了广大华人强烈的爱国热情，国人纷纷踊跃购票观影，票房统计达到人民币约56.94亿元．其中56.94亿用科学记数法表示为（）

A、 $56.94 \times 10^{8}$ B、 $5.694 \times 10^{9}$ C、 $5.694 \times 10^{10}$ D、 $0.5694 \times 10^{10}$

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4. 如果 $(x - 2) (x + 3) = x^{2} + p x + q$ ，那么 $p$ ， $q$ 的值分别是（）

A、 $p = 1$ ， $q = - 6$ B、 $p = - 1$ ， $q = - 6$ C、 $p = 5$ ， $q = 6$ D、 $p = - 5$ ， $q = - 6$

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5. 如图，小亮用6个相同的小正方体搭成一个立体图形，研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，其三视图中不改变的是（）

A、主视图 B、主视图和左视图 C、主视图和俯视图 D、左视图和俯视图

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6. 一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为 $x$ ，那么所列方程正确的是（）

A、 $60 {(1 + x)}^{2} = 100$ B、 $60 (1 + 2 x) = 100$ C、 $100 {(1 - x)}^{2} = 60$ D、 $100 (1 - 2 x) = 60$

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7. 下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{4}{x}$ $(x > 0)$ 与 $y = x - 1$ 的图像交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 °$ ，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别为半径 $O C$ ， $O B$ 上的动点．若 $O B = 2$ ，则 $△ D E F$ 周长的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 如图，等腰 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，AC与正方形DEFG的的边长DE在同一直线上， $A C = D E = 2$ ，开始时点C与点D重合，让 $Δ A B C$ 沿直线DE向右平移，到点A与点E重合时停止．设CD的长为x ， $Δ A B C$ 与正方形DEFG重合部分的面积为y ，则能表示y与x之间关系的图象大致是（）．

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 不等式 $3 x - 2 \geq x - 6$ 的最小整数解是．

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12. 分解因式： $x^{2} - 10 x^{2} y + 25 x^{2} y^{2} =$ ．

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13. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题

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14. 定义 $a \otimes b = {\begin{array}{l} a (a - b \leq 1) \\ b (a - b > 1) \end{array}$ ，比如， $4 \otimes 2 = 2$ ， $1 \otimes 5 = 1$ ．若实数 $k$ 满足 $k [x^{2} \otimes (x + 1)] - 1 = 0$ ，并且这个关于 $x$ 的方程有两个不相等的实数解，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. $\sqrt{12} + | \sqrt{3} - 3 | - 2 \sin 60 ° - {(- \sqrt{3})}^{- 2}$ ．

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16. 我国古代算术名著《算法统宗》中有这样一道题，原文如下：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？大意为：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？

请列方程（或方程组）解答上述问题．

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17. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 2)$ ， $B (4 ， 1)$ ， $C (1 ， 5)$ ．

（ 1 ）以点 $O$ 为位似中心，在第一象限内将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在网格中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

（ 2 ）将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向左平移5个单位，再向上平移1个单位，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在网格中画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（ 3 ）若 $△ A B C$ 的内心为 $P (a ， b)$ ，请直接写出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的内心 $P_{2}$ 的坐标（用含 $a$ 或 $b$ 的代数式表示）．

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18. 观察下列等式：
① $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1}$ ；② $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ ；③ $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{1}{3}$ ；……

(1)、请按以上规律写出第④个等式：；

(2)、猜想并写出第 $n$ 个等式：；

(3)、请证明猜想的正确性．

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19. 如图是某校在教学楼前新建的升旗杆 $A B$ ，小明和小亮想利用刚学的三角函数知识来测算旗杆 $A B$ 的高度．小明在一楼底部 $C$ 处测得旗杆顶部的仰角为 $60 °$ ，小亮在三楼 $D$ 处测得旗杆顶部的仰角为 $30 °$ ，已知旗杆底部与教学楼一楼底部在同一水平线上，每层楼的高度为 $3 m$ ，求旗杆 $A B$ 的高度．

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20. 已知：如图，直线 $A F$ 经过两个等腰直角 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 的顶点 $A$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $C E$ ，且 $B D ⊥ A F$ 于点 $F$ ， $C E$ 与直线 $A F$ 交于点 $G$ ．求证：点 $G$ 是 $C E$ 的中点．

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21. 学校为了了解七年级学生的跳绳成绩，韦老师随机调查了该年级开学体育模拟考试中部分同学的跳绳成绩，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据图中提供的信息完成下各题：

(1)、被调查同学跳绳成绩的中位数是，并补全条形统计图；

(2)、如果该校七年级共有学生2025人，估计跳绳成绩能得18分的学生约有人；

(3)、在成绩为20分的同学中有三人（两男一女）的跳绳水平很高，现准备从他们中随机选出两位同学给全年级同学作示范，请用画树状图或列表法求刚好抽到两位男生的概率．

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22. 对于二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ ，我们把 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
（尝试）

(1)、当t=2时，抛物线 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 的顶点坐标为

(2)、判断点A是否在抛物线E上；

(3)、求n的值.
（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 ▲ .

（应用）二次函数 $y = - 3 x^{2} + 5 x - 2$ 是二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.

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23. （问题提出）已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？
（问题转化）

(1)、已知：如图1， $△ A B C$ 中， $A D$ 是内角平分线．求证： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ；

(2)、已知：如图2， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，延长 $△ A B C$ 的内角平分线 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．求证： $A D^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot C D$ ；

(3)、（问题解决）
已知：如图3， $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 5$ ， $A C = 4$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的内角平分线．求 $A D$ 的长；

(4)、已知：如图3， $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的内角平分线．请直接写出求 $A D$ 的计算公式： $A D =$ ．

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