四川省自贡市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x| $\frac{x - 2}{x - 4}$ ＜0}，则A∩B＝（）

A、{x|2＜x≤3} B、{x|2≤x≤3} C、{x|1≤x＜4} D、{x|1＜x＜4}

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2. 若复数 $\frac{| 3 + 4 i |}{2 - i} - a$ 为纯虚数（ $i$ 是虚数单位），则实数 $a =$ （）

A、-5 B、-2 C、2 D、5

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3. 设x∈R，向量 $\vec{a}$ ＝（x，1）， $\vec{b}$ ＝（1，﹣2），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |＝（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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4. 有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）

A、甲地：总体均值为4，中位数为3 B、乙地：总体均值为5，总体方差为12 C、丙地：中位数为3，众数为2 D、丁地：总体均值为3，总体方差大于0

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5. 执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{32}$

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6. 已知α满足 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan^{2} α + 1} =$ （）

A、3 B、﹣3 C、 $\frac{4}{9}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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7. 古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁ ， F₂在y轴上，其面积为8 $\sqrt{3}$ π，过点F₁的直线l与椭圆C交于点A，B且△F₂AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{64} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{64} + \frac{x^{2}}{48} = 1$

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8. 已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列命题中错误的是（）

A、AE⊥平面PAB B、直线PD与平面ABC所成角为45° C、平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行 D、直线CD与PB所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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9. 如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（）米．

A、 $\frac{b \sin α \sin (γ - β)}{\sin (γ - α)}$ B、 $\frac{\sin (γ - β)}{b \sin α \sin (γ - α)}$ C、 $b \sin β + \frac{b \sin γ \sin (α - β)}{\sin (γ - β)}$ D、 $b \sin β + \frac{b \sin γ \sin (γ - β)}{\sin (γ - α)}$

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10. 已知四面体P﹣ABC中，∠PAC＝∠PBC＝∠ABC＝90°，且AB＝2．若四体P﹣ABC的外接球体积为36π，则当该四面体的体积最大时，BC＝（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} - \frac{| x |}{2}$ （其中e是自然对数的底数），若a＝f（2^1.5），b＝f（4^0.8），c＝f（log₂ $\frac{1}{5}$ ），则a，b，c的大小关系为（）

A、c＜a＜b B、a＜b＜c C、a＜c＜b D、b＜a＜c

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12. 已知 $f (x) = 2 \sin^{2} (ω x + \frac{π}{3}) - 1 (ω > 0)$ ，给出下列结论：
①若f(x₁)=1，f(x₂)=﹣1，且|x₁﹣x₂|_min=π，则ω=1；

②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图象关于y轴对称；

③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为 $[\frac{41}{24} ， \frac{47}{24}]$ ；

④若f(x)在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则ω的取值范围为 $(0 ， \frac{2}{3}]$ .

其中，所有正确结论的编号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 2 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则该约束条件组确定的平面区域的面积为．

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14. 已知 ${(x + 1)}^{n}$ 的展开式二项式系数和为128，则 $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} 2 + C_{n}^{2} 4 + \dots + C_{n}^{n} {(- 2)}^{n} =$ .

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15. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为．

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16. 函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+2g(x)=e^x ，若对任意x∈(0，2]，不等式f(2x)﹣mg(x)≥0成立，则实数m的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，数列{b_n}是等差数列，且b₁=a₁ ， b₆=a₅.

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，记数列{c_n}的前n项和为T_n ，证明：T_n<8.

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18. 如图1，由正方形ABCD､直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB=AE=DF=2，将图形沿AB､CD折起使得E､F重合于P，如图2.

(1)、判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由；

(2)、求二面角B﹣PC﹣D大小的余弦值.

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19. 在一次产品质量抽查中发现，某箱5件产品中有2件次品.

(1)、从该箱产品中依次不放回随机抽取2件产品，求抽到次品的概率；

(2)、若独立重复进行（1）试验3次，设抽到的2件产品中含次品的次数为X，求X的分布列和期望；

(3)、若独立重复进行（1）的试验10次，则最有可能出现次品的次数是多少？

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20. 已知平面上动点P到点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线C，若点A（1，n）（n＞0），点B在曲线C上，且满足 $\vec{F O} + \vec{F B} = 2 \vec{F A}$ （O为坐标原点）．

(1)、求曲线C的方程及点B坐标；

(2)、过点B引圆（x﹣4）²+y²＝r²（0＜r＜2）的两条切线BP，BQ，切线BP、BQ与抛物线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点的纵坐标记为t，求t的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x - 2 \sin x$ ．

(1)、求 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 的极值；

(2)、证明： $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且只有两个零点．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t \cos α \\ y = 1 + t \sin a \end{matrix}$ （t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²＝ $\frac{12}{3 + \sin^{2} θ}$ ，直线l与曲线C的交点为A，B．

(1)、求曲线C的直角坐标方程及α＝ $\frac{π}{2}$ 时|AB|的值；

(2)、设点P（﹣1，1），求 $\frac{| | P A | - | P B | |}{| P A | | P B |}$ 的最大值．

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23. 已知f(x)＝|x+a|+|x﹣b|（a＞0，b＞0）．

(1)、当a＝b＝1时，解不等式f(x)≥8﹣x²；

(2)、若f(x)的最小值为2，求 $\frac{2}{a + 2} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值．

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