安徽省合肥市第四十五中2021年中考数学四模试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 有理数 $- \frac{1}{2021}$ 的绝对值为（）

A、2021 B、 $\frac{1}{2021}$ C、 $- 2021$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $2 x + 3 y = 5 x y$ B、 $5 m^{2} \cdot m^{3} = 5 m^{5}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(m^{2})}^{3} = m^{5}$

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3. 纳米是一种长度单位，1纳米 $= 1.0 \times 10^{- 9}$ 米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）

A、 $1.1 \times 10^{- 11}$ 米 B、 $1.1 \times 10^{- 10}$ 米 C、 $1.1 \times 10^{- 7}$ 米 D、 $1.1 \times 10^{- 6}$ 米

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4. 若将两个立方体图形按如图所示的方式放置，则所构成的几何体的左视图可能是（）.

A、 B、 C、 D、

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5. 某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查5名学生，并将所得数据整理如表表中有一个数字被污染而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（）

学生编号

1

2

3

4

5

一周课外阅读时间（小时）

7

5

4

8

A、2，6 B、1.5，4 C、2，4 D、6，6

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6. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 $30 °$ 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 $45 °$ 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $14 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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7. 某药店在防治新冠病毒期间，市场上抗病毒用品紧缺的情况下，将某药品提价100%，物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的14%，则该药品现在降价的幅度是（　　）

A、43% B、45% C、57% D、55%

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8. 根据表格中的信息，估计一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 5$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的一个解 $x$ 的范围为（）

x

0

1

2

3

4

ax²+bx+c

-14.5

-11.5

-6.5

0.5

9.5

A、 $0 < x < 1$ B、 $1 < x < 2$ C、 $2 < x < 3$ D、 $3 < x < 4$

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9. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C B A = 30 °$ ，点 $D$ 在 $B A$ 的延长线上，且 $B A = 2 A D$ 连接 $D C$ 并延长，过 $B$ 作 $B E ⊥ D C$ 于点 $E$ ，若 $B E = 3$ ，则 $Δ A C D$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 如图1，在等边三角形 $A B C$ 和矩形 $D E F G$ 中， $A C = D E$ ，点 $C$ ， $D$ ， $G$ 都在直线 $l$ 上，且 $A C ⊥ l$ 于点 $C$ ， $D E ⊥ l$ 于点 $D$ ，且 $D'$ ， $B$ ， $E$ 三点共线，将矩形 $D E F G$ 以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形 $D E F G$ 和 $Δ A B C$ ：无重叠部分；设矩形 $D E F G$ 运动的时间为 $t$ 秒，矩形 $D E F G$ 和 $Δ A B C$ 重叠部分的面积为 $S$ ；图2为 $S$ 随 $t$ 的变化而变化的函数图象，则函数图象中点 $H$ 的纵坐标是（）

A、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ B、 $\frac{16}{3} \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $\frac{32}{3} \sqrt{3}$

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二、填空题

11. $\sqrt{16}$ 的平方根是．

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12. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在圆 $O$ 上，点 $D$ 是 $A B$ 延长线上一点，若 $∠ C B D = 70 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为．

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13. 如图，一次函数 $y = \frac{4}{3} x + b$ 的图象与y轴交于点 $B (0 ， 3)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $D (m ， n)$ ．以 $B D$ 为对角线作矩形 $A B C D$ ，使顶点 $A$ ， $C$ 落在 $x$ 轴上（点 $A$ 在点 $C$ 的右边）， $B D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ．则 $k =$ ．

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14. 如图所示，已知直线 $m / / n$ ， $m$ 、 $n$ 之间的距离为1， $E$ 、 $F$ 点分别在直线 $m$ 、 $n$ 上， $A$ 、 $B$ 分别为直线 $n$ 、直线 $m$ 上的动点，使 $A B = \sqrt{5}$ ，且 $A B ⊥ E F$ ．

(1)、 $E F$ 的值为.

(2)、 $A B$ 在运动的过程中， $A E + B F$ 的最小值为．

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三、解答题

15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) > x \\ 1 - 2 x \geq \frac{x + 7}{2} \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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16. 由于疫情防控的需要，学校开学第一周给某班配备了一定数量的口罩，若每个学生发5个，则多40个口罩，若每个学生发6个，则少12个口罩，请问该班有多少名学生？学校给该班准备了多少个口罩？

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B O$ 中 $A$ 点的坐标为 $(5 ， 0)$ ， $B$ 点的坐标为 $(4 ， 2)$ ．

（ 1 ）将 $Δ A B O$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ O A' B'$ ，请你画出旋转后的图形；

（ 2 ）请用无刻度直尺作 $Δ A B O$ 的角平分线 $B E$ ，并直接写出点 $E$ 的坐标．

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18. 桌面上的某创意可折叠台灯的平面示意图如图1所示，将其抽象成图2，量得 $∠ D C B = 60 °$ ， $∠ C D E = 165 °$ ﹔灯杆 $C D$ 的长为30cm，灯管 $D E$ 的长为20cm，底座 $A B$ 的厚度为3cm，不考虑其他因素，求台灯的高（点 $E$ 到桌面的距离，结果保留根号）．

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19. 观察下列等式：
① $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1}$ ② $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$

② $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{1}{3}$ ④ $\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{56} = \frac{1}{4}$

……

(1)、请按以上规律写出第⑤个等式；

(2)、猜想并写出第n个等式 ▲ ；并证明猜想的符合题意性．

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20. 某校数学社团对该校学生进行“舌尖上的合肥——我最喜爱的合肥小吃”随机调查，每人只能从中“ $A$ ．锅贴、 $B$ ．鸡蛋灌饼、 $C$ ．小笼包、 $D$ ．赤豆糊”中选择一个本人最喜欢的小吃．将调查问卷整理后绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
　

(1)、小笼包所在扇形的圆心角的度数为 $°$ ，将条形统计图补充完整；

(2)、该校共有1200名同学，估计最喜欢赤豆糊的同学有名；

(3)、甲、乙两个同学从这四种小吃：“ $A$ ．锅贴、 $B$ ．鸡蛋灌饼、 $C$ 小笼包、 $D$ ．赤豆糊”中随机地选一项去品尝，请你利用树状图或表格，求出两位同学选到 $A$ 、 $B$ 小吃的概率．

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21. 直线 $M N$ 交 $⊙ O$ 于点 $A$ 、 $B$ 两点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 平分 $∠ C A M$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，过 $D$ 作 $D E ⊥ M N$ 于 $E$ ，若 $D E = 2 \sqrt{3}$ ， $A E = 2$ ．

(1)、 $⊙ O$ 的半径；

(2)、圆心 $О$ 点到 $A B$ 距离．

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22. 定义：对于二次函数 $y = a {(x + h)}^{2} + k$ ，其相依函数为一次函数 $y' = a (x + h) + k$ ，例如：二次函数 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 2$ 的相依函数为： $y' = 3 (x + 1) + 2 = 3 x + 5$

(1)、求二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ 的相依函数表达式；

(2)、如图，二次函数 $y = m {(x + 2)}^{2} - 3 m (m > 0)$ 与其相依函数的图象分别交于点 $A$ 、 $B$ ，过该抛物线的顶点作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴，已知点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为8．

①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；

②点 $P$ 为抛物线 $A B$ 段上的一个动点，求 $Δ A P B$ 面积的最大值．

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23. $R t Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 中点，连接 $D E$ 与 $Δ A B C$ 的角平分线 $B F$ 交于点 $G$ ，连接 $A G$ ．

(1)、如图，求证： $A G ⊥ B F$ ．

(2)、取 $B C$ 中点 $H$ ，连接 $G H$ 、 $A H$ ， $A H$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，如图．

①求证： $G B - G A = \sqrt{2} G H$ ；

②求 $\frac{P H}{E F}$ 的值．

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学生编号	1	2	3	4	5
一周课外阅读时间（小时）	7	5	4		8

x	0	1	2	3	4
ax²+bx+c	-14.5	-11.5	-6.5	0.5	9.5