四川省眉山市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题

试卷更新日期：2021-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} < 4}$ ， $B = {x | (x - 4) (x - 1) < 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 2 < x < 4}$ C、 ${x | 2 \leq x < 4}$ D、 ${x | x < 2$ 或 $x \geq 4}$

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2. 若 $\frac{a + 2 i}{1 - i} = 2 b (a ， b \in R)$ ，则复数 $a + b i$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $\sin θ = 2 \sin (\frac{π}{2} + θ)$ ，则 $\cos^{2} θ =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知直线 $l$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(- 3 ， 4)$ 处的切线﹐则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x - 4 y - 7 = 0$ B、 $3 x - 4 y + 25 = 0$ C、 $3 x + 4 y - 7 = 0$ D、 $3 x + 4 y - 25 = 0$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为线段 $B C$ 上异于 $B$ ， $C$ 的任意一点， $E$ 为 $A D$ 的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 居民消费价格指数 $(C o n s u m e r P r i c e I n d e x$ ，简称 $C P I$ )是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标.根据下面给出的我国2019年9月-2020年9月的居民消费价格指数的同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)增长和环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)增长情况的折线图，以下结论正确的是（）

A、2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大 B、2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小 C、2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平 D、2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势

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7. 2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作.若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有（）

A、120 B、96 C、48 D、24

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8. 函数 $f (x) = e^{| x |} - x^{2} - | x |$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} + 6} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的一个焦点 $F$ 到它的一条渐近线的距离为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象的一条对称轴是直线 $x = - \frac{π}{4}$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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11. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = \sqrt{12 + f (x)}$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、-3或4 B、-4或3 C、3 D、4

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12. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A P B ， G$ 为 $P C$ 上一点，且 $B G ⊥$ 平面 $A P C ， A B = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 2 \\ 2 x - y \geq 1 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{1}{2} x + y$ 的最大值为.

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14. 2021年第 $31$ 届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，两队打平的概率是 $\frac{1}{10}$ ，则这次比赛乙队不输的概率是．

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15. 给出下列命题：
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行﹔

②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；

③设 $α ， β ， γ$ 为平面，若 $α ⊥ β ， β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ ；

④设 $α ， β ， γ$ 为平面，若 $α // β ， β // γ$ ，则 $α // γ$ ．

其中所有正确命题的序号为．

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16. 设函数 $f (x) = \ln x - m x^{2} + 2 x$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n (a_{n} + 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分（满分100分）.体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图.

(1)、将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面

2 \times 2

列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.

	良	优	合计
男			40
女		40
合计

(2)、为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为

[50 ， 60)

和

[90 ， 100]

的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为

[50 ， 60)

的顾客获得纪念品数为随机变量

X

，求

X

的分布列和数学期望.

附表及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.076	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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19. 如图，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A E = 12 ， C E = 4 \sqrt{3} ， C D = 3 \sqrt{3} ，$ $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A E D = 120^{\circ}$ ， $\sin ∠ C D E = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求AC的值；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 如图，在四棱锥 $M - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A M = A D = 2$ .

(1)、证明： $△ B D M$ 是正三角形；

(2)、若 $C D //$ 平面 $A B M$ ， $2 C D = A B$ ，求二面角 $C - B M - D$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} - a) - 2 \ln x + 2 \ln 2 - 2 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 的一条切线垂直于 $y$ 轴，证明：该切线为 $x$ 轴.

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)．以原点 $О$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $Р$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，证明：直线 $P A, P B$ 关于 $x$ 轴对称．

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23. 已知函数 $f | x | = | 2 x - 2 | + | x + 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \geq 4$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $M,$ 正数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = M$ ，求证： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{9}{4}$

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