吉林省白山市2021届高三理数第四次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 3 < x < 5}$ ， $B = {y | y = 2 x, x \in A}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 1, A C = 5, \sin A = \frac{3}{5}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、3 B、±3 C、4 D、±4

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3. 函数 $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 1$ 的图象在点 $(4 ， f (4))$ 处的切线斜率为（）

A、-8 B、-7 C、-6 D、-5

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4. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）

A、16天 B、17天 C、18天 D、19天

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5. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\frac{13}{9}$ 、 $\frac{56}{45}$ 、 $\frac{10}{7}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ ，则（）

A、 $e_{1} > e_{3} > e_{2}$ B、 $e_{2} > e_{3} > e_{1}$ C、 $e_{1} > e_{2} > e_{3}$ D、 $e_{2} > e_{1} > e_{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = \lg x - {(\frac{1}{2})}^{x} ， f (m) = 1$ ，且 $0 < p < m < n$ ，则（）

A、 $f (n) < 1$ 且 $f (p) > 1$ B、 $f (n) > 1$ 且 $f (p) > 1$ C、 $f (n) > 1$ 且 $f (p) < 1$ D、 $f (n) < 1$ 且 $f (p) < 1$

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7. 下列各项中，是 ${(\sqrt{x y} - \frac{y}{x})}^{6}$ 的展开式的项为（）

A、15 B、 $- 20 x^{2}$ C、 $15 y^{4}$ D、 $- 20 y^{\frac{9}{2}}$

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $i =$ （）

A、10 B、15 C、20 D、25

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9. 已知函数 $f (x) = \tan x - \sin x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的图象不关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(π ， 0)$ 对称

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10. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为侧棱 $C C_{l}$ 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线 $B D$ 异面的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{13}{18}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，M为C左支上一点，N为线段 $M F_{2}$ 上一点，且 $| M N | = | M F_{1} |$ ，P为线段 $N F_{1}$ 的中点.若 $| F_{1} F_{2} | = 4 | O P |$ (O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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12. 如图，函数 $f (x)$ 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， $f (x)$ 的零点为 $- \frac{1}{2}$ ，若不等式 $f (x + a^{2}) ⩾ f (x) (a \neq 0)$ 对 $x \in R$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5 \sqrt{3}}{6}] \cup [\frac{5 \sqrt{3}}{6} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{4 \sqrt{3}}{5}] \cup [\frac{4 \sqrt{3}}{5} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 复数 $z = (1 - 2 i) (1 - 5 i)$ 的实部为.

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14. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, (n^{2} + 1) a_{n + 1} = 2 (n^{2} - 2 n + 2) a_{n}$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 $P A B$ 是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为.

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16. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x ⩽ 2 ， \\ x + y ⩽ 3 ， \\ 3 x + 2 y ⩾ 6 ， \end{array}$ 则 $x - y$ 的最大值为， $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{3}, b = 2$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{6}$ ，求 $\cos 2 B$ ；

(2)、当A取得最大值时，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 $p_{1}$ ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 $p_{2}$ ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 $\frac{199}{200}$ .

(1)、求该社区能举行4场音乐会的概率；

(2)、求该社区举行音乐会场数X的数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，以 $B C$ 为直径的圆O(O为圆心)过点A，且 $A O = A C = A P = 2 ， P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，M为 $P C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $O A M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求二面角 $O - M D - C$ 的余弦值.

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20. 已知F为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，直线 $l : y = 2 x + 1$ 与C交于A ， B两点且 $| A F | + | B F | = 20$ .

(1)、求C的方程.

(2)、若直线 $m : y = 2 x + t (t \neq 1)$ 与C交于M ， N两点，且 $A M$ 与 $B N$ 相交于点T ，证明：点T在定直线上.

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21. 已知函数 $f (x) = m {(x + 1)}^{2} - 1 - 2 \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) ⩽ 0$ ，求m的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的方程为 $x = \sqrt{- y^{2} + 2 y + 3}$ .

(1)、写出曲线C的一个参数方程；

(2)、若 $A (1 ， 0) ， B (- 1 ， 0)$ ，点P为曲线C上的动点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + 2 \vec{O A} \cdot \vec{O P}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x + b |$ .

(1)、若 $a = b^{2} + 3 b + 2$ ，证明： $\forall x \in R, b \in R, f (x) ⩾ 1$ .

(2)、若关于x的不等式 $f (x) ⩽ 7$ 的解集为 $[- 6, 1]$ ，求a，b的一组值，并说明你的理由.

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