湖南省邵阳市新邵县2021届高三下学期数学新高考适应性考试试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(1 - i) \cdot z = 4 i ，$ 则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x < 0}$ ， $B = {x | x > 1$ 或 $x < 0}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \cup B = R$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线过点 $(1 ， 2)$ ，则其离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 已知某旅游城市2020年前10个月的游客人数（万人）按从小到大的顺序排列如下：3，5，6，9，x，y，15，17，18，21，若该组数据的中位数为13，则该组数据的平均数为（）

A、12 B、10.7 C、13 D、15

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5. 函数 $f (x) = \frac{(3^{x} - 1) \ln x^{2}}{3^{x} + 1}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $[0 ， 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 $\frac{9}{10}$ ，则需要操作的次数 $n$ 的最小值为(参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$ )（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 已知图象连续不断的函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x)$ 是周期为2的奇函数， $y = | f (x) |$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上恰有5个零点，则 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2020]$ 上的零点个数为（）

A、5050 B、4041 C、4040 D、2020

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{2} \cdot e^{| x |}$ ， $a = f (l o g_{3} \sqrt{5})$ ， $b = f (l o g_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 2019年4月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（）

A、选物理的考生可报大学专业占47.53% B、选历史的考生大学录取率为2.83% C、选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64% D、选历史的考生可报大学专业占52.47%

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10. 已知函数 $f (x) = cos (2 x + φ)$ $(| φ | < \frac{π}{2})$ ， $F (x) = f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} f^{'} (x)$ 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）

A、 $\tan φ = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上存在零点，则a的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、 $F (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 有且仅有一个极大值点

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，点 $Q$ 在圆 $E ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上，且圆 $E$ 上的所有点均在椭圆 $C$ 外，若 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为 $2 \sqrt{5} - 6$ ，且椭圆 $C$ 的长轴长恰与圆 $E$ 的直径长相等，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为2 B、椭圆 $C$ 的短轴长为 $\sqrt{3}$ C、 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ D、过点 $F$ 的圆 $E$ 的切线斜率为 $\frac{- 4 \pm \sqrt{7}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) < \frac{1}{x}$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (e) > 2$ B、 $f (\frac{1}{e}) > 0$ C、 $\forall x \in (1 ， e)$ ， $f (x) < 2$ D、 $\forall x \in (\frac{1}{e} ， 1)$ ， $f (x) - f (\frac{1}{x}) + 2 > 0$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $ξ ~ N (4 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 6) = 0.4$ ，则 $P (ξ > 2) =$ .

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14. 若曲线 $f (x) = x \ln x + x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + a y - 4 = 0$ 平行，则 $a =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 2 ， | \vec{A B} + \vec{A C} | = \sqrt{3}$ ，若点M满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} =$ .

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16. 已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{2}$ .

(1)、若 $C D = 1 + \sqrt{3}$ ，求四边形ABCD的面积；

(2)、若 $\sin ∠ B C D = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $∠ A D C \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $\sin ∠ A D C$ .

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18. 在① $2 S_{n + 1} = S_{n} + 1$ ，② $a_{2} = \frac{1}{4}$ ，③ $S_{n} = 1 - 2 a_{n + 1}$ 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足__________，__________；又知正项等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2} - 1$ ， $b_{3}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 图1是直角梯形 $A B C D$ ， $A B / / D C$ ， $∠ D = 90^{°}$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $\vec{C E} = 2 \vec{E D}$ .以 $B E$ 为折痕将 $△ B C E$ 折起，使点 $C$ 到达 $C_{1}$ 的位置，且 $A C_{1} = \sqrt{6}$ ，如图2.

(1)、证明：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面 $A B E D$ ；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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20. 某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得-15分).设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)、设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.

(2)、玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)、玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 5$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $D$ ， $E$ 两点.过 $D$ ， $E$ 分别作抛物线 $C$ 的切线，两切线交于点 $M$ ，若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线交于第四象限的点 $N$ ，且 $| M N | = | D E |$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 2 \ln x (m > 0)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的两个极值点，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $h (x) = \ln x - c x^{2} - b x$ 的两个零点， $x_{1} < x_{2}$ .求证：当 $m \geq \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 时， $(x_{1} - x_{2}) h^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \ln 3 - 1$ .

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