河南省江西省2021届高三高中毕业班理数阶段性测试（六）

试卷更新日期：2021-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{2021 - i}{1 + 2021 i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $i$ B、-2021 C、 $2021 i$ D、-1

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2. 已知集合 $A = {x | | x | < 1}$ ， $B = {x | \log_{2} x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- 1, 4]$ D、 $(0, 4]$

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3. 某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 $[20, 25)$ （单位：℃）内，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温

$[15, 20)$

$[20, 25)$

$[25, 30)$

$[30, 35)$

$[35, 40)$

天数

3

6

25

38

18

将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x=（）

A、100 B、300 C、400 D、600

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4. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比例得值还可以近似地表示为 $2 \sin 18^{\circ}$ ，则 $\frac{\sqrt{3} \sin 12^{\circ} + m}{\cos 12^{\circ}}$ 的近似值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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5. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4}$ 的展开式中x的系数为（）

A、 $- 24$ B、12 C、16 D、24

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6. 已知 $e^{a} = π$ ， $2^{b} = 3$ ， $c = \sin 2021^{\circ}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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7. 已知圆 $O$ 的半径为1，A，B是圆 $O$ 上的两个动点， $| \vec{O A} - \vec{O B} | = 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ，则 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{3 π}{2}$

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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9. 元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、放烟花等一系列传统民俗活动，北方“滚”元宵，南方“包”汤圆．某超市在元宵节期间出售2个品牌的黑芝麻馅汤圆，2个品牌的豆沙馅汤圆，1个品牌的五仁馅汤圆．若将这5种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[- π ， π]$ 上的大致图象如图所示，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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11. 对于无穷数列 ${a_{n}}$ ，给出如下三个性质：① $a_{1} < 0$ ；② $\forall n ， s \in N^{*} ， a_{n + s} > a_{n} + a_{s}$ ；③ $\forall n \in N^{*} ， \exists t \in N^{*} ， a_{n + t} > a_{n}$ ．定义：同时满足性质①和②的数列 ${a_{n}}$ 为“s数列”，同时满足性质①和③的数列 ${a_{n}}$ 为“t数列”，则下列说法错误的是（）

A、若 $a_{n} = 2 n - 3$ ，则 ${a_{n}}$ 为“s数列” B、若 $a_{n} = - \frac{1}{2^{n}}$ ，则 ${a_{n}}$ 为“t数列” C、若 ${a_{n}}$ 为“s数列”，则 ${a_{n}}$ 为“t数列” D、若等比数列 ${a_{n}}$ 为“t数列”则 ${a_{n}}$ 为“s数列”

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12. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ x^{2} - 4 x + 4 ， 1 < x \leq 2. \end{array}$ 若关于x的不等式 $m | x | \leq f (x)$ 的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（）

A、 $(\frac{e - 1}{7} ， \frac{e - 1}{5}]$ B、 $[\frac{e - 1}{7} ， \frac{e - 1}{5}]$ C、 $(\frac{e - 1}{9} ， \frac{e - 1}{7}]$ D、 $[\frac{e - 1}{9} ， \frac{e - 1}{7}]$

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二、填空题

13. 若抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点M到焦点F的距离与到y轴的距离之差为2，则 $p =$ ．

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14. 已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₃ ， a₅ ， a₁₀成等比数列，则 $\frac{S_{7}}{a_{7}} =$ .

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15. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长为2，其内切球的半径为r，则该四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为（用含r的代数式表示）.

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16. 已知点F为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若 $△ O A F$ （点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率 $e \in [\sqrt{17}, \sqrt{65}]$ ，则a的取值范围为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 $c \sin 2 B + 2 b \sin B \cos C = 2 \sqrt{3} b \cos A$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 4$ ，求BC边上的中线AD长度的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ D A B = \frac{π}{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2 D C = 2$ ， $P D = \sqrt{3}$ ， $P A = \sqrt{6}$ ， $C D ⊥ P D$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的大小．

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19. 2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如下表：

	选考物理	选考历史	总计
男生	40		50
女生
总计		30

(1)、补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；

(2)、将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考数据：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，其下顶点为点 $A$ ．若斜率存在的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $P ， Q$ 两点，且不过点 $A$ ，直线 $A P ， A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程．

(2)、当 $M ， N$ 的横坐标的乘积是 $\frac{4}{3}$ 时，试探究直线 $l$ 是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a \ln (x - 1) + x^{2} + (a - 2) x - a + 1 ， a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值，且 $f (x) \geq 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 t \\ y = 1 - 4 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (4 - 3 \sin^{2} θ) = 4$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点M在直线 $l$ 上，点N在曲线C上，求 $| M N |$ 的最小值．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | + | 3 x + 1 |$ ．

(1)、求 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $3 f (x) \geq 3 m^{2} - m$ 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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最高气温	$[15, 20)$	$[20, 25)$	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$
天数	3	6	25	38	18