河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期理数六月联考试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x > 1}$ ， $B = {x | | x - 1 | < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若 $z = \frac{1}{\cos θ + i \sin θ}$ ，则 $z$ 的共扼复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\cos θ - i \sin θ$ B、 $\sin θ - i \cos θ$ C、 $\sin θ + i \cos θ$ D、 $\cos θ + i \sin θ$

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）

A、3 B、5 C、7 D、8

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4. “ $x > 0$ ”是“ $\sin x > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{15}$

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6. 如图，图象对应的函数解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{x^{2} - cos x}$ B、 $f (x) = \frac{sin x \cdot (4^{x} - 4^{- x})}{x^{2} + cos x}$ C、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) cos (\frac{π}{2} x)$ D、 $f (x) = sin x + \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1}$

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7. 已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则 $\frac{b - a}{d}$ ＝（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、－ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或－ $\frac{1}{2}$

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8. 令 ${(x + 1)}^{2020} = a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2} + \dots + a_{2020} x^{2019} + a_{2021} x^{2020} (x \in R)$ ，则 $a_{2} + 2 a_{3} + \dots + 2019 a_{2020} +$ $2020 a_{2021} =$ （）

A、 $2019 \cdot 2^{2019}$ B、 $2019 \cdot 2^{2020}$ C、 $2020 \cdot 2^{2019}$ D、 $2020 \cdot 2^{2020}$

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9. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）

A、576 B、432 C、388 D、216

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10. $\int_{- 2}^{2} (\sqrt{4 - x^{2}} + x^{2}) d x =$ （）

A、 $2 π$ B、8 C、 $\frac{π}{2} + \frac{16}{3}$ D、 $2 π + \frac{16}{3}$

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11. 已知实数a ， b ， c满足 $a = 6^{\frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{7} 8 + \log_{56} 49$ ， $7^{b} + 24^{b} = 25^{c}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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12. 若函数 $f (x) = (2 a x + \frac{\ln x}{x}) \ln x - (a - 1) x^{3}$ 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4 e^{2} + 1}{4 e^{2} - 4 e})$ B、 $(1 ， \frac{4 e^{2} + 1}{4 e^{2} - 4 e})$ C、 $(0 ， 1) \cup (1 ， \frac{4 e^{2} + 1}{4 e^{2} - 4 e})$ D、 $(0 ， 1) \cup {\frac{4 e^{2} + 1}{4 e^{2} - 4 e}}$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ .

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14. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 ， \\ x - y - 2 \leq 0 ， \\ y \geq 2 ， \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值为．

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = 2$ ， $P B = P C$ ， $P A = \sqrt{14}$ ， $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆的圆心， $\cos ∠ P A O_{1} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

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16. 已知点 $M$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 在第一象限上一点，点 $F$ 为双曲线 $C$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，4 $| M O | = 4 | M F | = 7 | O F |$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为，若MF､MO分别交双曲线 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，记直线 $P M$ 与 $P Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} =$

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三、解答题

17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 2 ∠ B$ ，且 $A D = 2 ， C D = 6 ， cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $B C = 6 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长.

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18. 在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm)

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高	168	167	165	186	a	b	c	d	178	158
序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高	166	178	175	169	172	177	182	169	168	176

由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在 $(160 ， 182)$ 之间(单位：cm，且这20组身高数据的平均数为 $\bar{x} = 172$ ，标准差为 $s = 7.$

(1)、为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间

(\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)

以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差保留两位小数)？

(2)、使用统计学的观点说明，

(\bar{x} - 2 s ， \bar{x} + 2 s)

以内的数据与原数据对比，有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)？(参考公式

s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = \frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2})

)

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $A D / / B C ， A D = 3 ， A B = B C = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = 3$ ，点 $M$ 在棱 $P D$ 上， $D M = 2 M P$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点.

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求二面角 $C - P D - N$ 的正弦值.

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20. 已知点 $P (- 2 ， y_{0})$ 为抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q ，且 $△ F P Q$ 面积为2.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设直线l经过 $(2 ， 5)$ 交抛物线C于M ， N两点(异于点P)，求证： $∠ M P N$ 的大小为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{λ - 2 x}{x + 1} (λ \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $λ = 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立；

(3)、求证：当 $x > 0$ 时， $(e^{x} - 1) \ln (x + 1) > x^{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t . \end{array}$ （ $t$ 为参数）.在以原点 $O$ 为极轴， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 坐标为 $(1, 1)$ ，圆 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A, B$ 两点,求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - a |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的最小值.

(2)、若函数在区间 $[- 1, 1]$ 上递减，求 $a$ 的取值范围.

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