浙江省宁波市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题4分，共40分．在每小題给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　）

A、﹣3 B、﹣1 C、0 D、2

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2. 计算 $a^{3} \cdot (- a)$ 的结果是（）

A、 $a^{2}$ B、 $- a^{2}$ C、 $a^{4}$ D、 $- a^{4}$

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3. 2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米.数320000000科学记数法表示为（）

A、 $32 \times 10^{7}$ B、 $3.2 \times 10^{8}$ C、 $3.2 \times 10^{9}$ D、 $0.32 \times 10^{9}$

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4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数

\bar{x}

（单位：环）及方差

S^{2}

（单位：环

^{2}

）如下表所示：

	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$	9	8	9	9
$S^{2}$	1.6	0.8	3	0.8

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 要使分式 $\frac{1}{x + 2}$ 有意义，x的取值应满足（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \neq - 2$ C、 $x \geq - 2$ D、 $x > - 2$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， ∠ C = 60 ° ， A D ⊥ B C$ 于点D， $B D = \sqrt{3}$ .若E，F分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 10 x + 3 y = 30 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 3 x + 10 y = 30 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 30 \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 30 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{10} = 5 \end{array}$

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9. 如图，正比例函数 $y_{1} = k_{1} x (k_{1} < 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} < 0)$ 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < - 2$ 或 $x > 2$ B、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 2$ C、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 2$ D、 $- 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 2$

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10. 如图是一个由5张纸片拼成的 $▱ A B C D$ ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 $S_{1}$ ，另两张直角三角形纸片的面积都为 $S_{2}$ ，中间一张矩形纸片 $E F G H$ 的面积为 $S_{3}$ ， $F H$ 与 $G E$ 相交于点O.当 $△ A E O ， △ B F O ， △ C G O ， △ D H O$ 的面积相等时，下列结论一定成立的是（）

A、 $S_{1} = S_{2}$ B、 $S_{1} = S_{3}$ C、 $A B = A D$ D、 $E H = G H$

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二、填空题（每小题5分，共30分）

11. $- \sqrt{5}$ 的绝对值是 .

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12. 分解因式： $x^{2} - 3 x =$ .

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13. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为.

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14. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图， $A C ， B D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点C，D，延长 $A C ， B D$ 交于点P.若 $∠ P = 120 °$ ， $⊙ O$ 的半径为 $6cm$ ，则图中 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为 $cm$ .（结果保留 $π$ ）

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15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 $A (x ， y)$ ，我们把点 $B (\frac{1}{x} ， \frac{1}{y})$ 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 $O C D E$ 的顶点C为 $(3 ， 0)$ ，顶点E在y轴上，函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象与 $D E$ 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 $O C D E$ 的一边上，则 $△ O B C$ 的面积为.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点B的对称点F在边 $A D$ 上，G为 $C D$ 中点，连结 $B G$ 分别与 $C E ， C F$ 交于M，N两点，若 $B M = B E$ ， $M G = 1$ ，则 $B N$ 的长为， $\sin ∠ A F E$ 的值为.

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三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17.

(1)、计算： $(1 + a) (1 - a) + {(a + 3)}^{2}$ .

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 < 9 ① \\ 3 - x \leq 0 ② \end{array}$ .

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18. 如图是由边长为1的小正方形构成的 $6 \times 4$ 的网格，点A，B均在格点上.

(1)、在图1中画出以 $A B$ 为边且周长为无理数的 $▱ A B C D$ ，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）.

(2)、在图2中画出以 $A B$ 为对角线的正方形 $A E B F$ ，且点E和点F均在格点上.

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19. 如图，二次函数 $y = (x - 1) (x - a)$ （a为常数）的图象的对称轴为直线 $x = 2$ .

(1)、求a的值.

(2)、向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

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20. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况.若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列向题：

(1)、求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图.

(2)、求5月份“党史”类书籍的营业额.

(3)、请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由.

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21. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $A P$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且A，B， $D^{'}$ 三点共线， $A D^{'} = 40 cm$ ，B为 $A D^{'}$ 中点，当 $∠ B A C = 140 °$ 时，伞完全张开.

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： $\sin 70 ° \approx 094 ， \cos 70 ° \approx 0.34 ， \tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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22. 某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

	A方案	B方案	C方案
每月基本费用（元）	20	56	266
每月免费使用流量（兆）	1024	m	无限
超出后每兆收费（元）	n	n

A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示.

(1)、请直接写出m，n的值.

(2)、在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式.

(3)、在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？

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23. 如图

(1)、（证明体验）
如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ .求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ .

(2)、（思考探究）
如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G.若 $F B = F C$ ， $D G = 2$ ， $C D = 3$ ，求 $B D$ 的长.

(3)、（拓展延伸）
如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D ， ∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ .若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5} ， A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长.

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24. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 与 $A D$ 交于点G.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表列 $∠ A G B$ .

(2)、如图2，连结 $C E ， C E = B G$ .求证； $E F = D G$ .

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结 $C G$ ， $A G = 2$ .
①若 $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ F G D$ 的周长.

②求 $C G$ 的最小值.

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