浙江省金华市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考真卷

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一、一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分

1. 实数 $- \frac{1}{2}$ ， $- \sqrt{5}$ ，2，-3中，为负整数的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、2 D、-3

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2. $\frac{1}{a} + \frac{2}{a} =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2 a}$ C、 $\frac{2}{a^{2}}$ D、 $\frac{3}{a}$

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3. 据科学家估计，太阳与地球的平均距离大约是 $150 000 000$ 千米，现将数字 $150 000 000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $15 \times 10^{7}$ B、 $1.5 \times 10^{7}$ C、 $0.15 \times 10^{9}$ D、 $1.5 \times 10^{8}$

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4. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

A、 $x + 2 > 0$ B、 $x - 2 < 0$ C、 $2 x \geq 4$ D、 $2 - x < 0$

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5. 某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）

如图，已知直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3} ， l_{4}$ .若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ 3 = ∠ 4$ .

请完成下面的说理过程.

解：已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，

根据（内错角相等，两直线平行），得 $l_{1} // l_{2}$ .

再根据（ ※ ），得 $∠ 3 = ∠ 4$ .

A、两直线平行，内错角相等 B、内错角相等，两直线平行 C、两直线平行，同位角相等 D、两直线平行，同旁内角互补

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6. 将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C = 2$ 米，AC与地面BC的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A、 $4 \cos α$ 米 B、 $4 \sin α$ 米 C、 $4 \tan α$ 米 D、 $\frac{4}{\cos α}$ 米

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8. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象上.若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则（）

A、 $y_{1} < 0 < y_{2}$ B、 $y_{2} < 0 < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{2} < 0$ D、 $y_{2} < y_{1} < 0$

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9. 某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）

A、先打九五折，再打九五折 B、先提价 $50 %$ ，再打六折 C、先提价 $30 %$ ，再降价 $30 %$ D、先提价 $25 %$ ，再降价 $25 %$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点 $E ， F ， G ， H ， M ， N$ 都在同一个圆上.记该圆面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、 $3 π$ C、 $5 π$ D、 $\frac{11 π}{2}$

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二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分

11. 二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 中，x的取值范围是．

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12. 已知 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = m \end{matrix}$ 是方程 $3 x + 2 y = 10$ 的一个解，则m的值是.

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13. 某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是.

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $6 cm$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，将该菱形沿AC方向平移 $2 \sqrt{3} cm$ 得到四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} D^{'}$ 交CD于点E，则点E到AC的距离为 $cm$ .

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15. 如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是.

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16. 如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知 $A B ⊥ B C ， M N ⊥ B C ， A B = 6.5$ ， $B P = 4 ， P D = 8$ .

(1)、ED的长为.

(2)、将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到 $B C^{'}$ （如图2），点P的对应点为 $P^{'}$ ， $B C^{'}$ 与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜 $P^{'}$ 反射后，在MN上的光点为 $E^{'}$ .若 $D D^{'} = 5$ ，则 $E E^{'}$ 的长为.

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三、解答题 (本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程

17. 计算： ${(- 1)}^{2021} + \sqrt{8} - 4 \sin 45 ° + | - 2 |$ .

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18. 已知 $x = \frac{1}{6}$ ，求 ${(3 x - 1)}^{2} + (1 + 3 x) (1 - 3 x)$ 的值.

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19. 已知：如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $∠ B O C = 120 ° ， A B = 2$ .

(1)、求矩形对角线的长.

(2)、过O作 $O E ⊥ A D$ 于点E，连结BE.记 $∠ A B E = α$ ，求 $tan α$ 的值.

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20. 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：

(1)、要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.

(2)、求小聪成绩的方差.

(3)、现求得小明成绩的方差为 $S_{小明}^{2} = 3$ （单位：平方分）.根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.

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21. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 $y = - \frac{1}{6} {(x - 5)}^{2} + 6$ .

(1)、求雕塑高OA.

(2)、求落水点C，D之间的距离.

(3)、若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， $O E = 10 m$ ， $E F = 1.8 m ， E F ⊥ O D$ .问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

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22. 在扇形 $A O B$ 中，半径 $O A = 6$ ，点P在OA上，连结PB，将 $△ O B P$ 沿PB折叠得到 $△ O^{'} B P$ .

(1)、如图1，若 $∠ O = 75 °$ ，且 $B O^{'}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 所在的圆相切于点B.
①求 $∠ A P O^{'}$ 的度数.

②求AP的长.

(2)、如图2， $B O^{'}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 相交于点D，若点D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，且 $P D // O B$ ，求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长.

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23. 背景：点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴于点B， $A C ⊥ y$ 轴于点C，分别在射线 $A C ， B O$ 上取点 $D ， E$ ，使得四边形 $A B E D$ 为正方形.如图1，点A在第一象限内，当 $A C = 4$ 时，小李测得 $C D = 3$ .
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.

(1)、求k的值.

(2)、设点 $A ， D$ 的横坐标分别为 $x ， z$ ，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了 $x > 0$ 时“Z函数”的图象.
①求这个“Z函数”的表达式.

②补画 $x < 0$ 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③过点 $(3 ， 2)$ 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

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24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- \sqrt{73} ， 0)$ ，点B在直线 $l ： y = \frac{3}{8} x$ 上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.

(1)、如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.
①若 $B A = B O$ ，求证： $C D = C O$ .

②若 $∠ C B O = 45 °$ ，求四边形 $A B O C$ 的面积.

(2)、是否存在点B，使得以 $A ， B ， C$ 为顶点的三角形与 $△ B C O$ 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.

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