甘肃省武威市、定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$ B、 $4 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 4$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{32} \div \sqrt{8} = 4$

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2. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为（）

A、 $5 \times 10^{8}$ B、 $5 \times 10^{9}$ C、 $5 \times 10^{10}$ D、 $50 \times 10^{8}$

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3. 将直线 $y = 5 x$ 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）

A、 $y = 5 x - 2$ B、 $y = 5 x + 2$ C、 $y = 5 (x + 2)$ D、 $y = 5 (x - 2)$

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4. 如图，直线 $D E // B F ， R t △ A B C$ 的顶点 $B$ 在 $B F$ 上，若 $∠ C B F = 20 °$ ，则 $∠ A D E =$ （）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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5. 如图，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 在 $⊙ O$ 上， $A B = C D ， ∠ A O B = 42 °$ ，则 $∠ C E D =$ （）

A、 $48 °$ B、 $24 °$ C、 $22 °$ D、 $21 °$

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6. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有 $x$ 人， $y$ 辆车，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ 2 y - 9 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 (y + 2) = x \\ 2 y + 9 = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ 2 y + 9 = x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ 2 y + x = 9 \end{array}$

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7. 对于任意的有理数 $a ， b$ ，如果满足 $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{a + b}{2 + 3}$ ，那么我们称这一对数 $a ， b$ 为“相随数对”，记为 $(a ， b)$ .若 $(m ， n)$ 是“相随数对”，则 $3 m + 2 [3 m + (2 n - 1)] =$ （）

A、-2 B、-1 C、2 D、3

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8. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C ， B D ⊥ A C$ 于点 $D (A D > B D)$ .动点 $M$ 从 $A$ 点出发，沿折线 $A B \to B C$ 方向运动，运动到点 $C$ 停止.设点 $M$ 的运动路程为 $x ， △ A M D$ 的面积为 $y ， y$ 与 $x$ 的函数图象如图2，则 $A C$ 的长为（）

A、3 B、6 C、8 D、9

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二、填空题

9. 因式分解： $4 m - 2 m^{2} =$ .

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10. 关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{3} x - 1 > \frac{1}{2}$ 的解集是.

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是..

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12. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：

体温（ $℃$ ）

36.3

36.4

36.5

36.6

36.7

36.8

天数（天）

2

3

3

4

1

1

这14天中，小芸体温的众数是 $℃$ .

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 边上一点， $∠ A E D = 90 ° ， ∠ E A D = 30 ° ， F$ 是 $A D$ 边的中点， $E F = 4 cm$ ，则 $B E =$ $cm$ .

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14. 若点 $A (- 3 ， y_{1}) ， B (- 4 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{a^{2} + 1}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”或“<”或“=”）

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15. 如图，从一块直径为 $4dm$ 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $90 °$ 的扇形，则此扇形的面积为 ${dm}^{2}$ .

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16. 一组按规律排列的代数式： $a + 2 b ， a^{2} - 2 b^{3} ， a^{3} + 2 b^{5} ， a^{4} - 2 b^{7}$ ，…，则第 $n$ 个式子是.

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三、解答题

17. 计算： ${(2021 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \cos 45 °$ .

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18. 先化简，再求值： $(2 - \frac{2 x}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 4$ .

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19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 $\overset{⌢}{A B} ， C$ 是弦 $A B$ 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

(1)、尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段 $A C$ 的垂直平分线 $D E$ ，分别交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $D ， A C$ 于点 $E$ ，连接 $A D ， C D$ ；

②以点 $D$ 为圆心， $D A$ 长为半径作弧，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $F$ （ $F ， A$ 两点不重合），连接 $D F ， B D ， B F$ .

(2)、直接写出引理的结论：线段 $B C ， B F$ 的数量关系.

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20. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 $C D$ 垂直于地面，在地面上选取 $A ， B$ 两处分别测得 $∠ C A D$ 和 $∠ C B D$ 的度数（ $A ， D ， B$ 在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上 $A ， B$ 两点的距离为 $58 m ， ∠ C A D = 42 ° ， ∠ C B D = 58 °$ .

问题解决：求宝塔 $C D$ 的高度（结果保留一位小数）.

参考数据： $\sin 42 ° \approx 0.67 ， \cos 42 ° = 0.74 ， \tan 42 ° \approx 0.90$ ， $\sin 58 ° = 0.85 ， \cos 58 ° = 0.53 ， \tan 58 ° = 1.60$ .

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

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21. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

(1)、请你估计箱子里白色小球的个数；

(2)、现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

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22. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成

A ， B ， C ， D ， E

五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题：

等级	成绩
$A$	$50 \leq x < 60$
$B$	$60 \leq x < 70$
$C$	$70 \leq x < 80$
$D$	$80 \leq x < 90$
$E$	$90 \leq x \leq 100$

(1)、本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中

m =

；

(2)、补全学生成绩频数分布直方图；

(3)、所抽取学生成绩的中位数落在等级；

(4)、若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人?

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23. 如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）.小刚离家的距离 $y (m)$ 与他所用的时间 $x (min)$ 的函数关系如图2所示.

(1)、小刚家与学校的距离为 $m$ ，小刚骑自行车的速度为 $m/min$ ；

(2)、求小刚从图书馆返回家的过程中， $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(3)、小刚出发35分钟时，他离家有多远?

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， D$ 是 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 的延长线上一点， $∠ D C B = ∠ O A C$ .过圆心 $O$ 作 $B C$ 的平行线交 $D C$ 的延长线于点 $E$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 4 ， C E = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $\tan ∠ O C B$ 的值；

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25. 问题解决：如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E = A F ， D E ⊥ A F$ 于点 $G$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F ， ∠ A E D = 60 ° ， A E = 6 ， B F = 2$ ，求 $D E$ 的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与坐标轴交于 $A (0 ， - 2) ， B (4 ， 0)$ 两点，直线 $B C ： y = - 2 x + 8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ .点 $D$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G ， D G$ 分别交直线 $B C ， A B$ 于点 $E ， F$ .

(1)、求抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、当 $G F = \frac{1}{2}$ ，连接 $B D$ ，求 $△ B D F$ 的面积；

(3)、① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $B E H F$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $P H = P C + 2$ ，求 $△ P H B$ 周长的最小值.

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体温（ $℃$ ）	36.3	36.4	36.5	36.6	36.7	36.8
天数（天）	2	3	3	4	1	1