江苏省连云港市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -3相反数是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、-3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、3

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a + 2 b = 5 a b$ B、 $5 a^{2} - 2 b^{2} = 3$ C、 $7 a + a = 7 a^{2}$ D、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} + 1 - 2 x$

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3. 2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人.把“4600000”用科学记数法表示为（）

A、 $0.46 \times 10^{7}$ B、 $4.6 \times 10^{7}$ C、 $4.6 \times 10^{6}$ D、 $46 \times 10^{5}$

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4. 正五边形的内角和是（）

A、 $360 °$ B、 $540 °$ C、 $720 °$ D、 $900 °$

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5. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点D、C分别落在点 $D_{1}$ 、 $C_{1}$ 的位置， $E D_{1}$ 的延长线交 $B C$ 于点G，若 $∠ E F G = 64 °$ ，则 $∠ E G B$ 等于（）

A、 $128 °$ B、 $130 °$ C、 $132 °$ D、 $136 °$

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6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.
甲：函数图象经过点 $(- 1, 1)$ ；

乙：函数图象经过第四象限；

丙：当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大.

则这个函数表达式可能是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $B D ⊥ A B$ ， $B D$ 、 $A C$ 相交于点D， $A D = \frac{4}{7} A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 150 °$ ，则 $△ D B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，线段 $M N$ 在对角线 $B D$ 上运动，若 $⊙ O$ 的面积为 $2 π$ ， $M N = 1$ ，则 $△ A M N$ 周长的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

9. 一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是.

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10. 计算： $\sqrt{{(- 5)}^{2}}$ =.

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11. 分解因式： $9 x^{2} + 6 x + 1 =$ .

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12. 已知方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ = ．

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13. 如图， $O A$ 、 $O B$ 是 $⊙ O$ 的半径，点C在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 30 °$ ， $∠ O B C = 40 °$ ，则 $∠ O A C =$ $°$ .

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $O E ⊥ A D$ ，垂足为E， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则 $O E$ 的长为.

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15. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

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16. 如图， $B E$ 是 $△ A B C$ 的中线，点F在 $B E$ 上，延长 $A F$ 交 $B C$ 于点D.若 $B F = 3 F E$ ，则 $\frac{B D}{D C} =$ .

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt[3]{8} + | - 6 | - 2^{2}$ .

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18. 解不等式组： ${\begin{matrix} 3 x - 1 \geq x + 1 \\ x + 4 < 4 x - 2 \end{matrix}$ ．

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19. 解方程： $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$

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20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是 $°$ ；

(3)、这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为.

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21. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛.

(1)、如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是；

(2)、求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率.

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22. 如图，点C是 $B E$ 的中点，四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、如果 $A B = A E$ ，求证：四边形 $A C E D$ 是矩形.

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23. 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.

(1)、这两种消毒液的单价各是多少元？

(2)、学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 $\frac{1}{3}$ ，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用.

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24. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以点C为圆心， $C B$ 为半径作 $⊙ C$ ，D为 $⊙ C$ 上一点，连接 $A D$ 、 $C D$ ， $A B = A D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ C$ 的切线；

(2)、延长 $A D$ 、 $B C$ 相交于点E，若 $S_{△ E D C} = 2 S_{△ A B C}$ ，求 $tan ∠ B A C$ 的值.

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25. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $A B$ 摆成如图1所示.已知 $A B = 4.8 m$ ，鱼竿尾端A离岸边 $0.4 m$ ，即 $A D = 0.4 m$ .海面与地面 $A D$ 平行且相距 $1.2 m$ ，即 $D H = 1.2 m$ .

(1)、如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $B C$ 与海面 $H C$ 的夹角 $∠ B C H = 37 °$ ，海面下方的鱼线 $CO$ 与海面 $H C$ 垂直，鱼竿 $A B$ 与地面 $A D$ 的夹角 $∠ B A D = 22 °$ .求点O到岸边 $D H$ 的距离；

(2)、如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $∠ B A D = 53 °$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $B O = 5.46 m$ ，点O恰好位于海面.求点O到岸边 $D H$ 的距离.（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$ ）

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26. 如图，抛物线 $y = m x^{2} + (m^{2} + 3) x - (6 m + 9)$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 $B (3 ， 0)$ .

(1)、求m的值和直线 $B C$ 对应的函数表达式；

(2)、P为抛物线上一点，若 $S_{△ P B C} = S_{△ A B C}$ ，请直接写出点P的坐标；

(3)、Q为抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点Q的坐标.

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27. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)、 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，E是边 $A C$ 上的一点，且 $A E = 1$ ，小亮以 $B E$ 为边作等边三角形 $B E F$ ，如图1，求 $C F$ 的长；

(2)、 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，E是边 $A C$ 上的一个动点，小亮以 $B E$ 为边作等边三角形 $B E F$ ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3)、 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，M是高 $C D$ 上的一个动点，小亮以 $B M$ 为边作等边三角形 $B M N$ ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

(4)、正方形 $A B C D$ 的边长为3，E是边 $C B$ 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 $B F G H$ ，其中点F、G都在直线 $A E$ 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为，点G所经过的路径长为.

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