四川省成都石室2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-22 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．

1. 在复平面内，复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则 $p$ 的值为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 经过点 $M (2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{2})$ 且与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 有共同渐近线的双曲线方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{6} = 1$

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4. 下列函数在定义域上为增函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x^{4}$ B、 $f (x) = x e^{x}$ C、 $f (x) = x - \cos x$ D、 $f (x) = x \ln x$

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5. 在极坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = 2$ 与曲线 $C ： ρ = 2$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定，与 $θ$ 有关

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6. 下列命题中，正确的有（）
①若平面 $α ⊥$ 平面 $γ$ ，平面 $β ⊥$ 平面 $γ$ ，则平面 $α //$ 平面 $β$ ；

②“若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ ”的逆否命题为真命题；

③在线性回归模型中，相关指数 $R^{2}$ 表示解释变量 $x$ 对于预报变量 $y$ 的贡献率， $R^{2}$ 越接近于0，表示回归效果越好；

④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A ， B$ 是该抛物线上的两点， $| A F | + | B F | = 6$ 则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = | x \ln x |$ ，若 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $b = f (\frac{1}{2})$ ， $c = f (e)$ ，其中 $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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9. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ ，若不等式 $f (a x^{2}) + f (1 - 2 a x) \geq 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， e]$ B、 $[0 ， e]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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10. “天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（）

A、0.61 B、0.67 C、0.71 D、0.77

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11. 已知定义在R上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 1 \\ x^{2} - x^{3} ， x \leq 1 \end{array}$ ，若函数 $k (x) = f (x) + a x$ 恰有5个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ B、 $[- \frac{1}{e} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$ D、 $[- \frac{1}{4} ， 0)$

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12. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 a x$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，（ $x_{1} < x_{2}$ ），则 $f (x_{1})$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 复数z满足 $z \cdot (1 + i) = 2 - i$ （i是虚数单位），则z的模 $| z | =$ .

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14. 某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：

使用年限（单位：年）	2	3	4	5	6
维修费用y（单位：万元）	1.5	4.5	5.5	6.5	7.0

根据上表可得回归直线方程为 $\hat{y} = 1.2 x + \hat{a}$ ，据此模型预测，若使用年限为9年，估计维修费约为万元．

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15. 已知函数 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x - 1} - 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， - 1)$ 处的切线方程是．

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16. 函数 $y = {[f (x)]}^{g (x)}$ 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 $\ln y = g (x) \cdot \ln f (x)$ ，然后两边同时求导得 $\frac{y^{'}}{y} = g^{'} (x) \ln f (x) + g (x) \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ ，
于是 $y^{'} = {[f (x)]}^{g (x)}$ $\cdot [g^{'} (x) \ln f (x) + g (x) \frac{f^{'} (x)}{f (x)}]$ ，用此法探求 $y = {(x + 1)}^{x} (x > 0)$ 的导数.

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三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2} \cos α \\ y = 1 + \sqrt{2} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）以坐标原点O为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (\frac{π}{4} - θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M (0 ， - 1)$ ，若曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值.

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18. 为了解成都市某区居民对接种新冠疫苗的态度，某机构日前通过社交媒体，进行了问卷调查，结果显示，多达73.4%的该区受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了该区1000人进行调查，得到统计数据如下：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未接种疫苗	500	100	600
接种疫苗	x	y	n
总计	800	m	1000

(1)、求

2 \times 2

列联表中的数据

x

，

y

，

m

，

n

的值，并确定能否有99%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.

(2)、从接种疫苗的

n

人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从4人中随机抽取2人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的2人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，求得分结果总和为11的概率.

附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

P（K²≥k₀）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $S D ⊥ D B$ ， $S B ⊥ A C$ .

(1)、证明： $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、已知 $S D = \sqrt{2} A B = 2$ ，点 $E$ 是棱 $S D$ 上的点，满足 $D E = λ D S (0 < λ < 1)$ ，若二面角 $C - A E - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{a}{2} {(x + 1)}^{2}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}$ 的极值点．

(1)、求 $a$ 的值，并证明 $f (x) \geq 0$ 恒成立；

(2)、证明：对于任意正整数 $n$ ， $\frac{(n + 1) \cdot (n + 2) \dots (2 n)}{n^{n}} > e^{\frac{n}{n + 1}}^{}$

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22. 已知平面内动点 $M$ 到两定点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $F_{2} (1 ， 0)$ 的距离之和为4.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹E的方程；

(2)、已知曲线 $A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} + D = 0$ 上点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处切线方程为 $A x_{0} x + B (x_{0} y + x y_{0}) + C y_{0} y + D = 0$ .若直线 $x = 4$ 与圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交于 $P ， Q$ 两点，动点 $N (4 ， t)$ 在线段 $P Q$ 上运动，从 $N$ 向轨迹E作切线，切点分别为 $A ， B$ ；
（ⅰ）求证：直线 $A B$ 过定点；

（ⅱ）求 $Δ A O B$ 面积的取值范围．

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