山西省部分重点高中2020-2021学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-06-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 4 < x < 2} ， N = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x | - 4 < x < 3}$ B、 ${x | - 4 < x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} - \lg (3 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ D、 $(0 ， \frac{1}{3})$

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3. 已知二次不等式 $- 2 x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x - 2 > 0$ 的解集为（）

A、 ${x ∣ 2 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ C、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ D、 ${x ∣ - 3 < x < - 2}$

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4. 函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 3 a + b$ 为偶函数，且定义城为 $[a - 1, 2 a]$ ，则 $a$ 、 $b$ 分别为多少（）

A、1，0 B、 $\frac{1}{3}$ ，1 C、1，1 D、 $\frac{1}{3}$ ，0

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5. “ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $a, b \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $| a | < | b |$ B、若 $| a | > b$ ，则 $a > b$ C、 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a > | b |$ ，则 $a > b$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{\ln | x |}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上是单调递增的．设 $a = f (\log_{4} 5) ， b = f (\log_{2} \frac{1}{3}) ， c = f ({0.2}^{0.5})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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9. 已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式 $\frac{4}{x} + \frac{m}{y}$ ≥ $\frac{9}{2}$ 恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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10. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x + 1), x \in (- 1, 1] \\ a x - 3, x \in (1, + \infty) \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > 3$ C、 $0 < a \leq 4$ D、 $0 < a \leq 3$

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11. 若直角坐标平面内的两点 $P ， Q$ 满足条件：① $P ， Q$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上；② $P ， Q$ 关于原点对称.则称点对 $[P ， Q]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一对“友好点对”(点对 $[P ， Q]$ 与 $[Q ， P]$ 看作同一对“友好点对”).已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{a} x (x > 0) \\ | x + 4 | (- 5 \leq x < 0) \end{array}$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{5} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{5} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1)$

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12. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

13. 命题“ $\exists x \in R, e^{x} < x$ ”的否定是．

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14. 如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆交于第二象限的点 $A (- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ，则 $2 \cos α - \sin α =$ .

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15. 已知函数 $f (2 x - 1) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (x) =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， 0 < x ⩽ 2 \\ f (4 - x) ， 2 < x < 4 \end{array}$ ，方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实根 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} - 7 x - 8 < 0}$ ， $B = {x ∣ 1 - m ⩽ x < m + 10}$ ， $R$ 为实数集．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B, A \cup B$ ；

(2)、记 $p : x \in A, q : x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 关于 $x$ 的不等式： $a x^{2} + (3 - a) x - 2 a - 6 > 0$

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式；

(2)、当 $a \in R$ 时，解关于 $x$ 的不等式．

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19. 某企业用180万元购买一套设备，该设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了设备的正常运行，企业需要对设备进行维护，已知 $x$ 年的总维护费用 $y$ 与使用年数 $x$ 满足函数关系式 $y = k x (x + 1)$ ，且第二年需要维护费用20万元．

(1)、求该设备给企业带来的总利润 $f (x)$ （万元）与使用年数 $x (x \in N^{*})$ 的函数关系；

(2)、试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？

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20. 设函数 $f (x) = \log_{a} (3 + x) + \log_{a} (3 - x) (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $f (1) = 3$ ，求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的定义域

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并给出证明；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的值域．

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21. 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 400 - 6 x ， 0 < x ⩽ 40 \\ \frac{7400}{x} - \frac{40000}{x^{2}} ， x > 40 \end{array}$ ，

(1)、写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

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22. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x)$ 为偶函数”.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x - 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式，并求不等式 $f (x) > f (2 x - 1)$ 的解集；

(2)、某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x + a)$ 为偶函数”.若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .
（i）求 $g (x)$ 的解析式；

（ii）求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集.

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