河北省张家口市张垣联盟2020-2021学年高一上学期12月阶段检测数学试题

试卷更新日期：2021-06-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < 2^{x} ⩽ 16}, B = {x | x^{2} - 2 x - 3 ⩽ 0}$ ，则 $A \cup B$ 为（）

A、 $(0, 4]$ B、 $[\begin{array}{l} 1, & 4 \end{array}]$ C、 $[- 1, 3]$ D、 $[- 1, 4]$

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2. $a = 3^{π} ， b = π^{π} ， c = 27$ ，这三个数的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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3. 将根式 $\frac{\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}}{a}$ 化简为指数式（）

A、 $a^{- \frac{1}{8}}$ B、 $a^{\frac{1}{8}}$ C、 $a^{- \frac{7}{8}}$ D、 $a^{- \frac{3}{4}}$

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4. 已知指数函数 $f (x) = (2 a^{2} - 5 a + 3) a^{x}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 函数 $y = \frac{2^{x + 1} + 3}{2^{x} + 1}$ 的值域为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(2, 3)$ D、 $[1, 2]$

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6. “函数 $f (x) = \sqrt{m x^{2} - m x + 1}$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ”是“ $m > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数 $f (x) = - \frac{1}{3^{x}}$ 与函数 $f (x) = 3^{x}$ 的图象（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、两者不对称

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8. 若函数 $f (x) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x} - a}$ 是奇函数，则不等式 $f (x) > 2$ 的解集为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 1]$

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二、多选题

9. 下列表达式中不正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{- a^{3}}}{a} = \sqrt{- a} (a \neq 0)$ B、 $\sqrt[4]{a^{2}} = a^{0.5}$ C、 $a^{x} + a^{- x} \geq 2 (a > 0)$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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10. 若正数 $a, b$ 满足 $3 a b = a + b + 1$ ，那么（）

A、 $a b$ 最小值是 $\frac{1}{3}$ B、 $a b$ 最小值是1 C、 $a + b$ 最小值是2 D、 $a + b$ 最小值是3

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x}, g (x) = \frac{1}{2} [f (x) - f (- x)], h (x) = \frac{1}{2} [f (x) + f (- x)]$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x_{1} \cdot x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ B、 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ C、 ${[h (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2} = 1$ D、 $g (2 x) = 2 g (x) h (x)$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b x - c > 0$ 的解集是 ${x ∣ x > \frac{3}{2}}$ C、 $c x^{2} + a x - b > 0$ 的解集是 ${x | x < - \frac{2}{3}$ 或 $x > 1}$ D、 $a + b < c$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 3 a^{x + 2} - 1$ 过定点 $M$ 的坐标为．

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14. 已知 $x + \frac{1}{x} = 2$ ，求 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = 2^{- x^{2} + a x + 3}$ 在 $[3, + \infty)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + a 2^{x} - a$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上的图象恒在 $x$ 轴上方，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 化简求值（需要写出计算过程）．

(1)、若 $100^{a} = 4, 10^{b} = 25$ ，求 $2 a + b$ 的值；

(2)、化简 $\sqrt{{(π - 5)}^{2}} - \sqrt[3]{{(2 - π)}^{3}}$ 并求值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{16^{x}}{16^{x} + 4}$ ．

(1)、若 $0 < a < 1$ ，求 $f (a) + f (1 - a)$ 的值；

(2)、求 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + f (\frac{3}{2023}) + \dots + f (\frac{2022}{2023})$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - k \cdot 3^{- x} ， (k \in R)$ 为奇函数．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $f (x) + f (1) < 0$ 成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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20. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园 $A B C D$ ，公园由矩形的休闲区（阴影部分） $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和环公园人行道组成，已知休闲区 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为5米和8米，设休闲区的长为 $x$ 米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 所占面积 $S$ （单位：平方米）关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、要使公园所占面积最小，问休闲区 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的长和宽应分别为多少米？

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21. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、在给定坐标系下，画出函数 $y = f (| x |)$ 的图象，并写出单调区间；

(2)、求 $y = f (| x |)$ 在区间 $[t - 2 ， t]$ 上的最小值 $g (t)$ ．

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，函数值不为0，对 $\forall x \in R ， \forall y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) f (y)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、证明： $\forall x \in R$ ，恒有 $f (x) > 0$ ；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > \frac{1}{f (x - 2)}$ ．

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