浙江省杭州市杭高2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-21 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合 $P = {x | 1 < x < 4}$ ， $Q = {x | 2 < x < 3}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x < 4}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | 3 < x < 4}$

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2. $i (1 + 2 i) =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 - i$

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3. 若 $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$ ， $\vec{A B} = λ \vec{B P}$ ，则实数 $λ$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、- $\frac{5}{4}$

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4. 某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，俯视图中圆的半径为1，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 0 \leq y \leq 3 \end{array}$ ，设 $z = x + y$ ，则 $z$ 的最大值为（）

A、6 B、3 C、0 D、-3

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6. 在 $△ A B C$ 中， $C = 60 °$ ， $a + 2 b = 8$ ， $\sin A = 6 \sin B$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{31}$ B、 $\sqrt{35}$ C、5 D、6

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7. 函数 $y = x \sin x + \cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则点 $M (3, 0)$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 如图，在棱长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是底面 $A B C D$ 内一动点，若直线 $D_{1} P$ 与平面 $E F G$ 不存在公共点， $P B_{1}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{6}$

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10. 已知 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x} - x$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，恒有 $\frac{f (x_{1})}{x} - \frac{f (x_{2})}{x} < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e^{- \frac{1}{2}}]$ B、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， e^{2}]$ D、 $(e^{\frac{1}{3}} ， + \infty)$

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二、填空题

11. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = \frac{1}{8}$ ，那么数列 ${a_{n}}$ 的公比为，数列 ${\frac{1}{a}}$ 的前5项的和为．

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12. 已知 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和是256，则 $n =$ ；展开式中的常数项是．

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13. 已知点 $P (6, 6)$ ， $Q$ 均是拋物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上两点， $P O$ （ $O$ 为坐标原点）的延长线与抛物线 $C$ 的准线交于点 $M$ ，且 $M Q ∥ x$ 轴，则抛物线 $C$ 的焦点坐标为，直线 $P Q$ 的斜率为．

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14. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ ，则 $g (x)$ 的解析式 $g (x) =$ ，若对于任意 $a \in [- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ ，在区间 $[0 ， m]$ 上总存在唯一确定的 $β$ ，使得 $g (β) = a$ ，则 $m$ 的最小值为．

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15. 某市安排5名医疗专家去支援3家定点医院，要求每个专家只能去1家医院，每家医院至少分到1名专家，则不同的分配方案有种．（用数字作答）

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16. 点 $P$ 在函数 $y = e^{x}$ 的图像上，若满足到直线 $y = x + a$ 的距离为2的点 $P$ 有且仅有3个，则实数 $a$ 的值为．

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17. 在 $R t △ A B C$ 中，已知 $B C = 4$ ， $A C = 3$ ， $D$ 是斜边 $A B$ 上任意一点（如图①沿直线 $C D$ 将 $△ A B C$ 折成直二面角 $B - C D - A$ （如图②．若折叠后 $A$ ， $B$ 两点间的距离为 $d$ ，则 $d$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) + \cos 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间和最值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 有且仅有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B$ ，且 $P B = A B = A D = 3$ ， $B C = 1$ ．

(1)、若点 $F$ 为 $P D$ 上一点且 $P F = \frac{1}{3} P D$ ，证明： $C F ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $B P D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $- 2 S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $4 S_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{2 n} + \frac{1}{S_{2 n}}$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x - b}{e^{x}} (x \in R)$ 的一个极值点是 $x = 2$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $b$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $a > 0$ ，若对任意 $x \in [0 ， 3]$ ，使得 $f (x) < \frac{9}{e^{2}}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 如图，已知抛物线 $y^{2} = x$ ，过点 $P (0 ， - 1)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} > 0)$ 的直线 $l_{1}$ ，交拋物线于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线于另一点 $C$ ，且交 $x$ 轴于点 $N$ ，且满足 $2 k_{1} + k_{2} = 0$ ．记 $△ A M N$ ， $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、若 $k_{1} = 1$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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