浙江省名校协作体2020-2021学年高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {0, 2}$ ， $B = {1, 2, 4}$ ，则 $A \cup B$ 为（）

A、{2} B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 1, 2, 4}$ D、 ${0, 2, 4}$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $2 x + y = 0$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ $α$ ⊥ $β$ ”是“ $m$ ⊥ $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 元朝《洋明算法》记录了一首关于圆锥仓窖问题中近似快速计算粮堆体积的诗歌：
尖堆法用三十六，倚壁须分十八停.

内角聚时如九一，外角三九甚分明.

每一句表达一种形式的堆积公式，比如其中第二句的意思：粮食靠墙堆积成半圆锥体，其体积为底面半圆弧长的平方乘以高，再除以18.现有一堆靠墙的半圆锥体粮堆，其三视图如图所示，则按照古诗中的算法，其体积近似值是（取 $π \approx 3$ ）（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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5. 若实数x ， y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y + 1 \leq 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值是（）

A、-3 B、-2 C、-1 D、0

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6. 已知函数 $f (x)$ 的局部图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{e^{| x |}} \cdot \sin \frac{π}{2} x$ B、 $f (x) = \frac{1}{e^{| x |}} \cdot \cos \frac{π}{2} x$ C、 $f (x) = \ln | x | \cdot \sin \frac{π}{2} x$ D、 $f (x) = \ln | x | \cdot \cos \frac{π}{2} x$

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7. 若实数x ， y ， z满足 ${\begin{array}{l} 1 - y < x < 2 - y \\ 1 - y < z < 2 - y \end{array}$ ，记 $P = x y + y z + x z + y^{2}$ ， $Q = x + 2 y + z$ ，则P与Q的大小关系是（）

A、 $P < Q$ B、 $P > Q$ C、 $P = Q$ D、不确定

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8. 如图所示，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 3 A A_{1} = \frac{3}{2} A_{1} B_{1} = 3$ ，记侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 与底面 $A B C$ ，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ ，以及侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 与截面 $A_{1} B C$ 所成的锐二面角的平面角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 $γ < β = α$ B、 $β = α < γ$ C、 $β < α < γ$ D、 $α < β < γ$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - a x, x \geq a \\ a x, x < a \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) + a$ 恰有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(1, \frac{3}{2}]$

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10. 已知数集 $S = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}} (1 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n \geq 2)$ 具有性质P：对任意的 $i, j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ， $a_{i} a_{j} \in S$ 或 $\frac{a_{j}}{a_{i}} \in S$ 成立，则（）

A、若 $n = 3$ ，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等差数列 B、若 $n = 4$ ，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列 C、若 $n = 5$ ，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 成等差数列 D、若 $n = 7$ ，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}$ 成等比数列

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二、填空题

11. 已知复数 $z$ ：满足 $（ 1 + i) z = 3 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的实部为① ， $| z | =$ ②.

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12. 已知直线 $l : y = k x$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 4$ ，若圆C上存在两点关于直线l对称，则 $k =$ ，若直线l与圆C相交于A ， B两点，且 $| A B | = 2$ ，则直线l的倾斜角 $α =$ .

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13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2^{n} - a$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a =$ ，设数列 ${{log}_{\sqrt{2}} a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} > 2 n + λ$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为

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14. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ C D$ ， $∠ C A B = 45 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，则 $\cos ∠ A C B =$ ，若 $D C = 2 \sqrt{2}$ ，则 $B D =$ .

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15. 已知点P是椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ 上任一点，设点P到两直线 $2 x \pm y = 0$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最大值为.

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16. 设 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = x^{4} - x^{3} + a x + b$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上的最小值为0，当 $a + b$ 取到最小值时， $a b =$ .

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17. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $2 {\vec{b}}^{2} + 1 = 3 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域；

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x + θ) - 1 (θ \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}])$ 为奇函数，求 $θ$ 的值.

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19. 如图所示，在三棱柱 $B C D - B_{1} C_{1} D_{1}$ 与四棱锥 $A - B B_{1} D_{1} D$ 的组合体中，已知 $B B_{1} ⊥$ 平面 $B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $B B_{1} = 1$ .

（Ⅰ）设O是线段 $B D$ 的中点，求证： $C_{1} O / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ；

（Ⅱ）求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 与正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - a_{2} = 2$ ，且 $a_{5}$ 既是 $b_{3} - a_{3}$ 和 $b_{1} - a_{1}$ 的等差中项，又是其等比中项.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 取得最小值时n的值.

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21. 如图所示，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F作互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交抛物线于A ， B两点（A在x轴上方）， $l_{2}$ 交抛物线于C ， D两点，交其准线于点N.

（Ⅰ）设 $A B$ 的中点为M ，求证： $M N$ 垂直于y轴；

（Ⅱ）若直线 $A N$ 与x轴交于Q ，求 $△ A Q B$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 2 a) - a (2 x - 1) (a \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > \frac{1}{2}$ 时， $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 最小的零点，求证：函数 $g (x) = | f (x) | + 2 x - 1$ 在区间 $(- 2 a ， x_{0})$ 上单调递减．（注： $1 n 3 < 1.1)$

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