山东省济南莱州市2020-2021学年高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 3}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{1} B、{4} C、 ${1 ， 4}$ D、 ${2 ， 4}$

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2. 复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ 的共轭复数为（）

A、 $\bar{z} = \frac{- 1 - 3 i}{2}$ B、 $\bar{z} = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ C、 $\bar{z} = - 1 - 3 i$ D、 $\bar{z} = - 1 + 3 i$

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3. 若直线 $y = 3 x$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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4. 若向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ =（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a \ln x$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4} < a < 0$ C、 $a < \frac{1}{4}$ D、 $0 < a < \frac{1}{4}$

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6. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，现有3人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率为（）

A、 $\frac{297}{2744}$ B、 $\frac{99}{2744}$ C、 $\frac{675}{21952}$ D、 $\frac{225}{21952}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x) (ω > 0)$ 在 $x \in [a ， 2] (a < 0)$ 上最大值为 $1$ 且递增，则 $2 - a$ 的最大值为（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $9$ D、 $8$

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二、多选题

8. 下列命题中的真命题为（）

A、命题“ $\exists x \in R, x^{2} - x > 0$ ”的否定是“对于 $\forall x \in R, x^{2} - x < 0$ ” B、已知 $a, b \in R$ ，则“ $2^{a} > 2^{b}$ ”是“ $\log_{2} a > \log_{2} b$ ”的必要不充分条件 C、若幂函数的图象经过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则它的单调递增区间是 $(- \infty, 0)$ D、函数 $y = 10^{\lg x}$ 与函数 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ 的定义域和值域都相同

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 是一个等比数列中的相邻三项，记 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{a_{n}}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和可以是（）

A、 $n$ B、 $2 n$ C、 $2^{n + 1} - 2$ D、 $(n - 1) 2^{n + 1} + 2$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，点 $E ， F ， G$ 分别棱 $A B ， A A_{1} ， C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A C B_{1}$ B、四面体 $A C B_{1} D_{1}$ 的体积等于 $\frac{1}{2} a^{3}$ C、 $F G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $E F G$

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三、填空题

11. ${(2 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{8}$ 展开式的第5项的系数为.

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，若 $f (x)$ 的图象向左平移2个单位后关于 $y$ 轴对称，且 $f (1) = 1$ ，则 $f (4) + f (5) =$ .

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13. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 且斜率大于0的直线 $l$ 交抛物线于点 $A ， B$ (点 $A$ 于第一象限)，交其准线于点 $C$ ，若 $| B C | = 3 | B F |$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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14. 已知 $λ \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - x^{2} ， x > λ \\ - x - 2 ， x \leq λ \end{array}$ ，当 $λ = 0$ 时，不等式 $f (x) < 0$ 的解集是；若函数 $f (x)$ 恰有2个零点，则 $λ$ 的取值范围是．

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四、解答题

15. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C$ ， $E$ 是 $A D$ 上的点且满足 $Δ B E D$ 与 $Δ A B D$ 相似， $∠ A E B = \frac{3 π}{4}$ ， $∠ D B E = \frac{π}{6}$ ， $D E = 6$ .

(1)、求 $B D$ 的长度；

(2)、求三角形 $B C D$ 面积的最大值.

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B C D$ 为平行四边形， $A B = A D = 2$ ，三角形 $P B D$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正三角形， $P A = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $B C$ 中点， $F$ 在线段 $D E$ 上，且 $\vec{D F} = \frac{2}{5} \vec{D E}$ ，求二面角 $F - P A - C$ 的大小.

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17. 2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：

得分	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
男性人数	15	90	130	100	125	60	30
女性人数	10	60	70	150	100	40	20

参考数据：① $\sqrt{210} \approx 14.5$ ；②若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ；

③

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d .$

(1)、由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分

Z

服从正态分布

N (μ, 210)

，

μ

近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求

P (50.5 < Z < 94)

；

(2)、把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如下

2 \times 2

列联表，并判断是否有

99 %

的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？

	不太了解	比较了解	合计
男性
女性
合计

(3)、从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人，求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望.

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P$ $(\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $H (0, - \frac{1}{2})$ ，试判断在椭圆 $C$ 上是否存在三个不同点 $Q, M, N$ (其中 $M, N$ 的纵坐标不相等)，满足 $\vec{O M} + \vec{O N} = \frac{1}{2} \vec{O Q}$ ，且直线 $H M$ 与直线 $H N$ 倾斜角互补？若存在，求出直线 $M N$ 的方程，若不存在，说明理由.

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19. 已知 $f (x) = x \ln x + \frac{a}{2} x^{2} + 1$

(1)、若 $f (x)$ 在其定义域上为单调递减函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + x \cos x - \sin x - x \ln x - 1$ 在 $(0 ， \frac{π}{2}]$ 上有1个零点.
（i）求实数 $a$ 的取值范围；

（ii）证明：若 $x > 1$ ，则不等式 $(x - 1) [f (x) - \frac{a}{2} x^{2}] > a x \ln x$ 成立.

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