江苏省扬州市2020-2021学年高三上学期数学开学调研试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {y | y = 3^{x} ， x \in A}$ .则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 9 ， 27}$ B、{3} C、 ${1 ， 3 ， 6 ， 9 ， 27}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ， $P (X \geq 0) = 0.8$ ，则 $P (X > 2) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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3. 设 $f （ x ） = ln x + x - 2$ ，则函数 $f (x)$ 的零点所在的区间为（　　）

A、（0，1） B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 已知 $a = \log_{3} \frac{9}{2}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{6}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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5. 设函数 $f (x) = x \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 $\lg E = 4.8 + 1.5 M$ ，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）

A、 $10^{- 15}$ B、1.5 C、 $\lg 1.5$ D、 $10^{1.5}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + k$ ，若存在区间 $[a, b] \subseteq [- 1, + \infty)$ ，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[a + 1, b + 1]$ ，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{4}, 0]$ C、 $(- \frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- 1, 0]$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 6) = f (x) ， y = f (x + 3)$ 为偶函数，若 $f (x)$ 在 $(0, 3)$ 内单调递减，则下面结论正确的是（）

A、 $f (\frac{19}{2}) < f (e^{\frac{1}{2}}) < f (\ln 2)$ B、 $f (e^{\frac{1}{2}}) < f (\ln 2) < f (\frac{19}{2})$ C、 $f (\ln 2) < f (\frac{19}{2}) < f (e^{\frac{1}{2}})$ D、 $f (\ln 2) < f (e^{\frac{1}{2}}) < f (\frac{19}{2})$

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二、多选题

9. 已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论正确的是（）

A、截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过65000人 B、从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数 C、从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，累计确诊人数.上升幅度一直在增加 D、2月15日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50%

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，下面说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图像关于原点对称 B、 $f (x)$ 的图像关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ D、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$

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11. 如图，直角梯形 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A B = 2$ ，E为 $A B$ 中点，以 $D E$ 为折痕把 $A D E$ 折起，使点A到达点P的位置，且 $P C = 2 \sqrt{3}$ .则（）

A、平面 $P E D ⊥$ 平面 $E B C D$ B、二面角 $P - D C - B$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ C、 $P C ⊥ E D$ . D、 $P C$ 与平面 $P E D$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) - f (- x) = 0$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数，且2是其一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (\frac{16}{3}) < f (\frac{1}{2})$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) - t = 0 (0 < t < 1)$ 在区间 $(- 2 ， 7)$ 上的所有实根之和是12

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三、填空题

13. 若 $P (2, 8)$ 在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则 $f (3) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \frac{ln (x + 2)}{\sqrt{- x^{2} - 3 x + 4}}$ 的定义域为

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x - 1}, x < 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x \geq 1 \end{matrix}$ ，若 $f [f (a)] = 2$ ，则实数 $a =$ .

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16. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x，满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部奇函数”.若 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 < x + m < 6}$ ， $B = {x | \frac{1}{4} < 2^{x} < 16}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $p : x \in A$ ， $q : x \in B$ ，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

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18. 计算下列各式的值：

(1)、 ${0.027}^{- \frac{1}{3}} - 16^{\frac{1}{4}} + {(\frac{1}{7})}^{_{0}} - \sqrt[4]{256}$

(2)、 $\log_{\frac{1}{4}} 2 + 2 \lg 4 + \lg \frac{5}{8} + e^{3 \ln 2}$

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19. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \ln (3 x + 2)$ ．

(1)、证明： $y = f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递增；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、求不等式 $f (x + 2) \leq f (2 x)$ 的解集．

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20. 重庆市的新高考模式为“

3 + 1 + 2

”，其中“3”是指语文、数学、外语三门必步科目：“1”是指物理、历史两门科目必选且只选一门；“2”是指在政治、地理、化学、生物四科中必须任选两门，这样学生的选科就可以分为两类：物理类与历史类，比如物理类有：物理+化学+生物，物理+化学+地理，物理+化学+政治.物理+政治+地理，物理+政治+生物，物理+生物+地理.重庆某中学高一学生共1200人，其中男生650人，女生550人，为了适应新高考，该校高一的学生在3月份进行了“

1 + 2

”的选科，选科情况部分数据如下表所示：（单位：人）

性别	物理类	历史类	合计
男生	590
女生		240
合计	900

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.025	0.010	0.005
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879

(1)、请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择物理类与性别有关”？

(2)、已知高一9班和10班选科结果都只有四种组合：物理+化学+生物，物理+化学+地理，政治+历史+地理，政治+历史+生物.现用数字1，2，3，4依次代表这四种组合，两个班的选科数据如下表所示（单位：人）.

	理化生	理化地	政史地	政史生	班级总人数
9班	18	18	12	12	60
10班	24	12	18	6	60

现分别从两个班各选一人，记他们的选科结果分别为 $x$ 和 $y$ ，令 $ξ = | x - y |$ ，用频率代表概率，求随机变量 $ξ$ 的分布列和期望.（参考数据： $1230^{2} = 1512900$ ， $65 \times 55 \times 9 = 32175$ ， $1512900 \div 32175 \approx 47$ ）

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21. 已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P A = P B = A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，D为 $A B$ 中点.

(1)、若 $P C = 3$ ，求异面直线 $P D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、若二面角 $P - A B - C$ 为30°，求 $A C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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22. 设函数 $f (x) = a^{3 x - 4}$ ， $g (x) = 2^{x^{2} - x - 3}$ ，其中 $0 < a$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、若 $h (x) = {\begin{matrix} f (x) ， x < 2 \\ g (x) ， x \geq 2 \end{matrix}$ 有最小值，求a的范围；

(2)、若 $\exists x \in [0 ， 3]$ ，使得 $f (x) \geq g (x + 2)$ 成立，求a的范围.

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