江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期数学9月期初调研试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, 3]$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 + 3 i$ ，则 $z$ 在复平面表示的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{4}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-32 B、32 C、-8 D、8

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4. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 4) = 0.9$ ，则 $P (- 2 < ξ < 1) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.6

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5. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A E} + 2 \vec{D E} = \vec{0}$ ，若 $\vec{E B} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = - 2 x$ C、 $x = 2 y$ D、 $x = - 2 y$

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6. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为 $v$ （单位： $m / s$ ），鲑鱼的耗氧量的单位数为 $Q$ . 科学研究发现 $v$ 与 $\log_{3} \frac{Q}{100}$ 成正比. 当 $v = 1 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 $900$ . 当 $v = 2 m / s$ 时，其耗氧量的单位数为（）

A、1800 B、2700 C、7290 D、8100

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列四个命题不正确的是（）.

A、直线 $B C$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{4}$ B、点 $C$ 到面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、三棱柱 $A A_{1} D_{1} - B B_{1} C_{1}$ 外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2 a}{a + b}$ （）

A、有最小值为4 B、有最小值为 $2 \sqrt{2} + 1$ C、有最小值为 $\frac{14}{3}$ D、无最小值

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9. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 $R$ 的水车，一个水斗从点 $A (3 ， - 3 \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过 $t$ 秒后，水斗旋转到 $P$ 点，设点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、当 $t \in [0 ， 60]$ 时，函数 $y = f (t)$ 单调递增 C、当 $t \in [0 ， 60]$ ， $| f (t) |$ 的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、当 $t = 100$ 时， $| P A | = 6$

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二、多选题

10. $A$ ， $B$ 是不在平面 $α$ 内的任意两点，则（）

A、在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 异面 B、在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 相交 C、存在过直线 $A B$ 的平面与 $α$ 垂直 D、在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 平行

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11. 把方程 $x | x | + y | y | = 1$ 表示的曲线作为函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列结论正确的有（）

A、 $y = f (x)$ 的图象不经过第三象限 B、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 C、 $y = f (x)$ 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1 D、函数 $g (x) = f (x) + x$ 不存在零点

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12. 数列 ${a_{n}}$ 为等比数列（）.

A、 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 为等比数列 B、 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 为等比数列 C、 ${a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2}}$ 为等比数列 D、 ${S_{n}}$ 不为等比数列（ $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项）

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{2}) =$ .

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14. 已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以 $2 \sqrt{2}$ 为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为.

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15. 直线 $k x + y + 4 = 0$ 将圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 分割成两段圆弧之比为 $3 : 1$ ，则 $k =$ .

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16. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}，若2a₄＋a₃－2a₂－a₁＝8，则2a₈＋a₇的最小值为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ， △ABC的面积为S ．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin²B+sin²C﹣sin²A+sinBsinC＝0；③ $a^{2} - b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ 请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量 $\vec{m}$ ＝（4sinx ， 4 $\sqrt{3}$ ）， $\vec{n}$ ＝（cosx ， sin²x），函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 2 \sqrt{3}$ 在△ABC中， $a = f (\frac{π}{3})$ ，且 ▲ ，求2b+c的取值范围．

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18. 已知各项均不相等的等差数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为10，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 是等比数列 ${b_{n}}$ 的前3项.

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B C D$ 是边长为4的正方形， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E ， F$ 分别为 $A B ， S C$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $S A D$ .

(2)、若 $S D = 8$ ，求二面角 $D - E F - S$ 的正弦值.

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20. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为

A

，

B

，

C

，

D

，

E

共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

(1)、某校生物学科获得

A

等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	2	1	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、假设该省此次高一学生生物学科原始分

Y

服从正态分布

N (75.8 ， 36)

．若

Y ~ N (μ ， σ^{2})

，令

η = \frac{Y - μ}{σ}

，则

η ~ N (0 ， 1)

，请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分 $C$ 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记 $ξ$ 为被抽到的原始分不低于 $71$ 分的学生人数，求 $P (ξ = k)$ 取得最大值时 $k$ 的值．

附：若 $η ~ N (0 ， 1)$ ，则 $P (η ⩽ 0.8) \approx 0.788$ ， $P (η ⩽ 1.04) \approx 0.85$ ．

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21. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的长轴两个端点分别为 $A$ ， $B$ ， $P (x_{0} ， y_{0})$ （ $y_{0} > 0$ ）是椭圆上的动点，以 $A B$ 为一边在 $x$ 轴下方作矩形 $A B C D$ ，使 $A D = k b$ （ $k > 0$ ）， $P D$ 交 $A B$ 于 $E$ ， $P C$ 交 $A B$ 于 $F$ .

(1)、若 $k = 1$ ， $△ P C D$ 的最大面积为12，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求椭圆方程；

(2)、若 $A E$ ， $E F$ ， $F B$ 成等比数列，求 $k$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - x + \sin x + 1$ .

(1)、求证： $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上存在一零点；

(2)、求证： $f (x)$ 有且仅有两个不同的零点.

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