江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期初调研数学试题

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 记全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} \geq 16}$ ，集合 $B = {x | 2^{x} \geq 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(1, 4]$ C、 $[1, 4)$ D、 $(1, 4)$

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2. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{7} 2$ ， $c = {0.5}^{a - 2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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3. 若 $\cos (α + β) = \frac{3}{5}, \sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{5}{13}, α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{33}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $- \frac{16}{65}$

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4. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）

A、30 B、60 C、90 D、120

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5. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) ， (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，且 $f (x)$ 的图象过 $A (\frac{π}{2} ， 1) ， B (π ， - 1)$ 两点，为了得到 $g (x) = 2 \sin ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ B、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ C、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ D、向右平移 $\frac{5 π}{12}$

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6. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切， $l$ 与 $C$ 的渐近线在第一象限内的交点是 $P$ ，若 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 对于函数 $y = f (x)$ ，若存在区间 $[a ， b]$ ，当 $x \in [a ， b]$ 时的值域为 $[k a ， k b] (k > 0)$ ，则称 $y = f (x)$ 为 $k$ 倍值函数.若 $f (x) = e^{x} + 2 x$ 是 $k$ 倍值函数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(e + 1 ， + \infty)$ B、 $(e + 2 ， + \infty)$ C、 $(e + \frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(e + \frac{2}{e} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B、设有一个回归方程 $y = 3 - 5 x$ ，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 过点 $P (1 ， 1)$ 则下列结论正确的是（）

A、点P到抛物线焦点的距离为 $\frac{3}{2}$ B、过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为 $\frac{5}{32}$ C、过点P与抛物线相切的直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ D、过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值

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11. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ ，则（）

A、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列 B、 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 1 : \sqrt{2}$ C、若 $a = 4$ ，则 $S_{△ A B C} = \sqrt{7}$ D、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 成等差数列

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12. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{2} f (x_{1}) < x_{1} f (x_{2})$ B、 $x_{1} + f (x_{1}) < x_{2} + f (x_{2})$ C、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ D、当 $\frac{1}{e} < x_{1} < x_{2}$ 时， $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > 2 x_{2} f (x_{1})$

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三、填空题

13. 高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的 $\frac{1}{6}$ ，而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为.

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14. 曲线 $y = \ln x + x + 1$ 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.

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15. 已知 $P$ 是边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是.

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16. 椭圆与双曲线有相同的焦点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，椭圆的一个短轴端点为 $B$ ，直线 $F_{1} B$ 与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $e_{1} e_{2} =$ ；且 $3 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \sin^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $f (A) = 2 ， C = \frac{π}{4} ， c = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

参考公式：附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	总计
男生	20
女生		15
合计			120

(2)、从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为

ξ

，求出

ξ

的分布列及期望值.

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19. 已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线 $2 x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的焦点重合，点 $P (0, \sqrt{3})$ 在椭圆C上，动直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆C于不同两点A、B，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ （O为坐标原点）.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、讨论 $7 m^{2} - 12 k^{2}$ 是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ ，且 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 1 ， 2]$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于x的不等式 $m f (x) > 2 (x - m - 1)$ ， $(m \geq 0)$ ；

(3)、设 $g (x) = 2^{f}^{(x) + 3 x - 1}$ ，若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 ， 1]$ 都有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq M$ ，求M的最小值.

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21. 已知 $f (x) = a (x - \ln x) + \frac{2 x - 1}{x^{2}}$ ，

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明 $f (x) > f' (x) + \frac{3}{2}$ 对于任意的 $x \in [1 ， 2]$ 成立，

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22. 已知点 $P$ 是抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ 的准线上任意一点，过点 $P$ 作抛物线 $C_{1}$ 的两条切线 $P A$ 、 $P B$ ，其中 $A$ 、 $B$ 为切点.

(1)、证明：直线 $A B$ 过定点，并求出定点的坐标；

(2)、若直线 $A B$ 交椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 于 $C$ 、 $D$ 两点， $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 分别是 $△ P A B$ 、 $△ P C D$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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