浙江省2021届高三下学期数学6月高考方向性考试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 1}$ ， $B = {x | 0 < x < 2}$ ，那么 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的实轴长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、 $\frac{3 π}{4} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4} + 1$ C、 $\frac{9 π}{4} + \frac{3}{2}$ D、 $\frac{9 π}{4} + 3$

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 12]$ B、 $(- \infty ， 12]$ C、 $(- \infty ， - 12]$ D、 $[- 12 ， + \infty)$

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5. 函数 $y = (e^{x} - \frac{1}{e^{x}}) \cos x$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知直线l、m和平面 $α$ ．若 $m \subset α$ ， $l \subset α$ ，则“ $l / / m$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，公差 $d \neq 0, \frac{a_{1}}{d} \geq 1$ ，记 $b_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ ，则下列等式不可能成立的是（）

A、 $2 a_{4} = a_{2} + a_{6}$ B、 $2 b_{4} = b_{2} + b_{6}$ C、 $a_{4}^{2} = a_{2} a_{8}$ D、 $b_{4}^{2} = b_{2} b_{8}$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线l过点 $F_{1}$ 交双曲线左支于点P，交双曲线渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 于点Q，且 $F_{1} Q ⊥ F_{2} Q$ ，若 $\vec{F_{1} P} = \frac{1}{2} \vec{P Q}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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9. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，向量 $\vec{c}$ 满足 $| 2 \vec{c} + \vec{a} | = | \vec{a} \cdot \vec{b} |$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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10. 已知 $△ A B C$ ， $∠ B = ∠ C = 30 °$ ，D是 $B C$ 的中点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折，得到 $△ A B^{'} D$ ，设 $B^{'} A$ 与平面 $A D C$ 所成的角为 $θ_{1}$ ， $B^{'} C$ 与平面 $A D C$ 所成的角为 $θ_{2}$ ， $B^{'} D$ 与平面 $A D C$ 所成的角为 $θ_{3}$ ，则（）

A、 $θ_{3} \geq 2 θ_{2}$ B、 $θ_{3} \leq 2 θ_{1}$ C、 $θ_{1} \leq 2 θ_{2}$ D、 $θ_{2} \geq 2 θ_{1}$

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二、填空题

11. 已知 $\frac{a}{1 + i} = 1 - b i$ ，其中 $a, b \in R$ ，i是虚数单位，则 $a =$ ， $b =$ ．

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12. 已知多项式 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \dots + a_{5} {(1 - x)}^{5}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{5}$ 为实数，则 $a_{3} =$ ， $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} =$ ．

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13. 已知 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\tan θ =$ ， $\sin 2 θ =$ ．

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14. 在8张奖券中有一、二、三等处各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分给4个人，每人两张，记获奖人数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 2) =$ ， $E ξ =$ ．

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15. 已知圆柱的体积为 $15 π^{2}$ （单位： ${cm}^{3}$ ），且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面半径（单位： $cm$ ）是．

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16. 曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 关于直线 $x - 2 y = 0$ 对称的曲线方程是．

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17. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + a | + | x |, x \in [- 1, 1]$ ．记 $f (x)$ 的最大值为 $M (a)$ ，则 $M (a)$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $△ A B C$ 的面积为S﹐且满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\sin A \cdot \sin B$ 的最大值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ，D是 $A A_{1}$ 的中点，且 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ D A C = 60 °$ ．

(1)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}, a_{1} = 2$ ．数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} \dots \dots a_{n} = 2^{\frac{b_{n}}{2}} (n \in N^{*})$ 且 $b_{3} = 6 + b_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}} (n \in N *)$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
①求 $S_{n}$ ；

②求正整数k使得对任意 $n \in N *$ ，都有 $S_{k} \geq S_{n}$ ．

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21. 如图．已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，直线过点 $P (2 ， 1)$ 与抛物线C相交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线相交于点T，过A，B分别作x轴的平行线与直线上 $l ： y = 2 x + 4$ 交于M，N两点．

(1)、证明：点T在直线l上，且 $| M T | = | N T |$ ；

(2)、记 $△ A M T$ ， $△ B N T$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．求 $S_{1} + S_{2}$ 的最小值．

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