四川省天府名校2021届高三下学期理数4月诊断性考试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 2^{x} < 4}$ ，集合 $N = {x | \frac{x}{x - 1} \geq 2}$ ，则 $N \cap M =$ （）

A、 $[1, 2)$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, 2]$

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2. 已知复数 $z$ 满足： $\frac{2 i}{z - i} = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知角 $α$ 的终边绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后，得到角 $β$ 的终边，角 $β$ 的终边过点 $P (8, - m)$ ，且 $\cos β = \frac{24}{5 m}$ ，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（）个矩形

A、3025 B、2025 C、1225 D、2525

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5. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $M (5, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一点，以 $M$ 为圆心的圆 $M$ 与准线 $l$ 相切，且过点 $E (9, 0)$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 36 x$ D、 $y^{2} = 4 x$ 或 $y^{2} = 36 x$

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6. 已知 $a$ ， $b$ 为不同直线， $α$ ， $β$ 为不同平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $a ⊥ α$ ， $b // α$ ，则 $b ⊥ a$ B、若 $a \subset α$ ， $α // β$ ，则直线 $a //$ 平面 $β$ C、若 $a // α$ ， $b ⊥ β$ ， $a / / b$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = b$ ， $a \subset α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $α ⊥ β$

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7. 设 $a = \log_{7} 4$ ， $b = \log_{\frac{1}{7}} \frac{2}{3}$ ， $c = 2^{\frac{2}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 2 x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq a \end{array}$ ，且 $z = x + 2 y$ 的最小值是-2，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、-2 C、 $- \frac{2}{3}$ D、-1

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9. 函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ 的图象在 $[0, m)$ 上恰有两个极大值点，则 $\sin m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $[- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $[- 1, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，且 $A D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最小值为（）

A、3 B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、 $6 \sqrt{3}$

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11. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的棱长均为1，现将三棱锥 $D - A B C$ 绕着 $D A$ 旋转，则 $D - A B C$ 所经过的区域构成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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12. 定义函数 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) f (x) \leq g (x) \\ g (x) f (x) > g (x) \end{array}$ ，若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - a x + b$ ，且对任意的 $x \in R$ ，都有 $F (x) = F (4 - x)$ 成立，函数 $y = F (x)$ 的图象与 $y = m$ 自左向右有四个交点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，则 $| B C | \cdot m$ 的范围为（）

A、 $(0 ， \frac{8}{27}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{3})$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$

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二、填空题

13. 若 ${(2 - m x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，若 $a_{3} = - 40$ ，则 $m =$ ．

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14. 在边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ ， $F$ 是线段 $A C$ 的三等分点，则 $\vec{A D} \cdot (\vec{B E} + \vec{B F})$ = ．

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15. 等边 $△ A B C$ 的边长为2，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起到 $△ A^{'} B D$ ，使得 $∠ A^{'} D C = \frac{2 π}{3}$ ，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．

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16. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ $(a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$ （ $a_{2} > 0$ ， $b_{2} > 0$ ）的公共焦点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率，点 $M$ 是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，若 $e_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，则 $e_{2} =$ ．

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三、解答题

17. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $2 a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $3 a_{4}$ 是等差数列 ${b_{n}}$ 的前三项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{2 n - 1}}{a_{2 n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数 $λ$ 有关，气象相关指数入 $λ$ 越高，橙子品质越高，售价同时也会越高．某合作社统计了近10年的当地的气象相关指数 $λ$ ，得到了如下频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、从近10年中任意抽取3年研究气象指数 $λ$ 对橙子品质的影响，求这3年的气象相关指数 $λ$ 在 $[0.9 ， 1]$ 之间的个数 $X$ 的数学期望；

(3)、根据往年数据，该合作社的利润 $y$ （单位：千元，利润=收入－投入）与每亩地的投入 $x \in [4 ， 8]$ （单位：千元）和气象相关指数 $λ$ 的关系如下： $y = 100 λ - \frac{200}{x + 2} λ - 4 x - 40$ ， $x \in [4 ， 8]$ ，气象相关指数 $λ$ 取何值时，能使对于任意的 $x \in [4 ， 8]$ 时该合作社都不亏损．

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19. 如图所示，几何体 $A B C D E F G$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F A // G C // E D$ ， $F A = G C = \frac{1}{3} E D$ ， $F G = 2$ ， $B E = 4$ ，平面 $B F G$ 与平面 $A B C D$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求直线 $B G$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值的范围．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，过点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为 $M$ ．椭圆的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，已知 $△ M A B$ 的面积为 $3$ ， $\vec{A F_{1}} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $M B$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，过点 $N$ 作直线与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $\vec{N B} \cdot \vec{N P} = 6 \vec{N M} \cdot \vec{N Q}$ ．求直线 $P Q$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + a$ $(a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点的个数；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x) \leq b + 2 a$ 恒成立，证明： $\frac{b}{a} \geq - 2$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = m + \frac{1}{m} + \sqrt{2} \\ y = m - \frac{1}{m} \end{array}$ （ $m$ 为参数）．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、过点 $A (3 \sqrt{2}, 0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $C$ 的交点分别为点 $M$ ， $N$ ，求 $\frac{1}{| A M |} + \frac{1}{| A N |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x - 4 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 2 x + 2$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值．

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