江苏省连云港市2021届高三下学期数学期初调研考试试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若非空且互不相等的集合 $M$ ， $N$ ， $P$ 满足： $M \cap N = M$ ， $N \cup P = P$ ，则 $M \cup P =$ （）.

A、 $\emptyset$ B、 $M$ C、 $N$ D、 $P$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{2 - i}$ 对应的点位于（）.

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛.现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）.

A、12 B、24 C、36 D、48

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的右焦点到其一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的离心率为（）.

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、2

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5. $(2 + 3 x^{2}) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）.

A、16 B、18 C、20 D、24

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6. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x - 2 |}{{(x - 2)}^{3}}$ 的部分图象大致为（）.

A、 B、 C、 D、

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7. 中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布 $N (80, 100)$ ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（）.（参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X <$ $μ + 3 σ) = 0.997$ ）

A、208 B、206 C、204 D、202

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8. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫作函数 $f (x)$ 的“保值点”.如果函数 $g (x) = x$ 与函数 $h (x) = \ln (x + 1)$ 的“保值点”分别为 $α$ ， $β$ ，那么 $α$ 和 $β$ 的大小关系是（）

A、 $α < β$ B、 $α > β$ C、 $α = β$ D、无法确定

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9. 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；              乙预测说：甲和丁中有一人获奖；

丙预测说：甲的猜测是对的；                  丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.

成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）.

A、甲和乙 B、乙和丙 C、甲和丙 D、乙和丁

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二、多选题

10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ 在 $[0, 2 π]$ 有且仅有4个零点，则（）.

A、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{5})$ 单调递增 B、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{10}, \frac{12}{5})$ C、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有2个极小值点 D、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有3个极大值点

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11. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点， $D C_{1} ⊥ B D$ .则（）.

A、直线 $D C_{1}$ 与 $B C$ 所成角为 $90 °$ B、三棱锥 $D - B C C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ C、二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的大小为 $60 °$ D、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $6 π$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{e^{x} - x}$ ，则（）.

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $| f (x) | < 1$ C、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 0)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上存在一个极值点

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三、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{6}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ .

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14. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为.

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15. 写出一个满足 $f (x) = f (2 - x)$ 的偶函数 $f (x) =$ .

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16. 焦点为 $F$ 的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M$ ， $| M F | = 4$ ，若以 $M F$ 为直径的圆过点 $A (0, 2)$ ，则圆心坐标为，抛物线的方程为.

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四、解答题

17. 在① $S_{8} = 72$ ，② $S_{5} = 6 a_{2}$ ，③ $S_{6} = S_{4} + a_{5}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问题：已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 6$ ， ▲ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos C}{c} = \frac{1}{2}$ ，且 $b = 2$ .

(1)、证明： $a + c \geq 4$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $2 + 3 \sqrt{2}$ ，求其面积 $S$ .

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19. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份

1

2

3

4

5

违章驾驶员人数

120

105

100

95

80

(1)、请利用所给数据求违章人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；

(3)、交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

不礼让行人

礼让行人

驾龄不超过1年

24

16

驾龄1年以上

16

14

能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）

P（x²≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ， $P A = P B = P C = 4$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上， $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，求 $C M$ 的长.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别作倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的两条直线，且这两条直线之间的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 与坐标轴不垂直的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点.过点 $A$ 作与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆交于点 $Q$ ，证明：直线 $Q B$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ， $g (x) = a \sin x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(2)、讨论 $φ (x) = f (x) - g (x)$ 在 $x \in [0 ， π]$ 上零点的个数.

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	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过1年	24	16
驾龄1年以上	16	14

P（x²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶员人数	120	105	100	95	80