江苏省常州市2021届高三下学期数学学业水平监测期初联考试卷

试卷更新日期：2021-06-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x > 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 ${0}$ B、 ${- 1, 3}$ C、 $(- \infty, 0) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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2. i是虚数单位，在复平面内复数 $\sqrt{3} - i+ \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ 对应的点的坐标为（）

A、( $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $- \frac{1}{2}$ ) B、( $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $- \frac{3}{2}$ ) C、( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $- \frac{1}{2}$ ) D、( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $- \frac{3}{2}$ )

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3. 已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac²≥bc²”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 设函数 $f (x) = a \ln x + b x^{2}$ ，若函数 $f (x)$ 的图象在点(1， $f (1)$ )处的切线方程为y=x，则函数 $y = f (x)$ 的增区间为（）

A、(0，1) B、(0， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) C、( $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $+ \infty$ ) D、( $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，1)

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5. 用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）

A、 $\frac{4^{3}}{5^{3}}$ B、 $\frac{4^{4}}{5^{3}}$ C、 $\frac{4^{3}}{5^{4}}$ D、 $\frac{4^{4}}{5^{4}}$

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6. 如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（）

A、 $\hat{y} = 0.15 x + 4.05$ B、 $\hat{y} = x + 1.45$ C、 $\hat{y} = 1.05 x + 1.15$ D、 $\hat{y} = 1.15 x + 1.05$

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7. 令 ${(x + 1)}^{2020} = a_{1} x^{2020} + a_{2} x^{2019} + a_{3} x^{2018} + \dots + a_{2020} x + a_{2021}$ ( $x \in R$ ) ，则 $a_{2} + 2 a_{3} + \dots + 2019 a_{2020}$ $+ 2020 a_{2021}$ =（）

A、 $2019 \times 2^{2019}$ B、 $2019 \times 2^{2020}$ C、 $2020 \times 2^{2019}$ D、 $2020 \times 2^{2020}$

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8. 函数 $f (x) = A \sin (2 x + φ) + k x + b$ ，A>0， $φ$ >0，k，b $\in$ R，则函数 $f (x)$ 在区间(﹣ $π$ ， $π$ )上的零点最多有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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二、多选题

9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面上夹角为 $\frac{π}{3}$ 的两个单位向量， $\vec{c}$ 在该平面上，且( $\vec{a}$ ﹣ $\vec{c}$ )·( $\vec{b}$ ﹣ $\vec{c}$ )=0，则下列结论中正确的有（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ C、 $| \vec{c} | < \sqrt{3}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的夹角是钝角

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10. 已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布 $N (110 ， 81)$ ，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545$ ）（）

A、该校学生成绩的期望为110 B、该校学生成绩的标准差为9 C、该校学生成绩的标准差为81 D、该校学生成绩及格率超过95%

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11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列结论中正确的有（）

A、 $a_{8} = 21$ B、 $S_{7} = 32$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n}$ D、 $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{2021}^{2}}{a_{2021}} = a_{2022}$

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12. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a] $\subseteq$ D，且对任意的 $x_{1}$ $\in$ [﹣a，a]，总存在 $x_{2}$ $\in$ [﹣a，a]，使得 $f (x_{1}) \cdot f (- x_{2}) = 1$ ，称函数 $f (x)$ 为P(a)函数，则下列结论中正确的有（）

A、函数 $f (x) = 3^{x}$ 是 $P (1)$ 函数 B、函数 $f (x) = x^{3}$ 是 $P (2)$ 函数 C、若函数 $f (x) = \log_{12} (x + t)$ 是 $P (2)$ 函数，则t=4 D、若函数 $f (x) = \tan x + b$ 是P( $\frac{π}{4}$ )函数，则b= $\pm \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 圆柱上､下底面的圆周都在一个体积为 $\frac{500 π}{3}$ 的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为.

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14. 函数 $f (x) = | \sin x + \cos x | + | \sin x - \cos x |$ 的最小正周期T=.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \ln | x - 2 |$ ，则使不等式 $f (2 t + 1) > f (t + 2)$ 成立的实数t的取值范围是.

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16. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的右焦点F也是抛物线C₂：y²=nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为 $\frac{5}{3}$ ，则实数n= ，椭圆C₁的离心率e=.

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四、解答题

17. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q(q≠1)，前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a_{1} = 1$ ， $S_{6} = \frac{9}{8} S_{3}$ ，求 $a_{3}$ 的值；

(2)、若q>1， $a_{m} + a_{m + 2} = \frac{5}{2} a_{m + 1}$ ，且 $S_{2 m} = 9 S_{m}$ ，m $\in N^{*}$ ，求m的值.

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18. 已知 $△ A B C$ 中，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $3 b^{2} + 3 c^{2} = 3 a^{2} + 2 b c$ .

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $\sin B = 2 \sin C$ ，求 $\tan C$ 的值.

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19. 已知某射手射中固定靶的概率为 $\frac{3}{4}$ ，射中移动靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.

(1)、求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；

(2)、求该射手的总得分X的分布列和数学期望.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = A P = 2 B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $45^{\circ}$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成的角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x + \frac{b}{x}$ ，a，b $\in$ R.

(1)、若a>0，b>0，且1是函数 $f (x)$ 的极值点，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(2)、若b=a+1，且存在 $x_{0} \in$ [ $\frac{1}{e}$ ，1]，使 $f (x_{0}) < 0$ 成立，求实数a的取值范围.

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22. 已知等轴双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)经过点( $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ).

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点， $k_{A P} + k_{A Q}$ 为定值 $λ$ ，求点A的坐标及实数 $λ$ 的值.

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